Questão 2. [2 pts.] Determine se existe um valor de
que torna a função abaixo contínua
Passo 1
O enunciado dá uma função definida por partes:
e pede para determinar se existe um valor de
que torne
contínua. Informação importante que já vem no enunciado:
- A quebra potencial de definição ocorre em
(porque as duas fórmulas trocam exatamente nesse ponto). - Para
temos a expressão . - Para
temos a expressão .]
Passo 2
Relembrando o conceito essencial: uma função
é contínua em um ponto
se e somente se
Aqui cada ramo é um polinômio (polinômios são contínuos em todo lugar), então não haverá problemas de continuidade para
. Logo, a única questão é a continuidade em
. Para que
seja contínua em
precisamos exatamente que o limite pela esquerda em
coincida com o valor em
(que é dado pelo ramo
).
Passo 3
Calcular o limite pela esquerda em
. No ramo
temos
. Como é um polinômio, o limite ao aproximar
de
pela esquerda é o mesmo que avaliar em
. Assim
Passo 4
Calcular o limite pela direita e o valor de
. No ramo
temos
. Novamente, sendo polinômio,
E como esse ramo inclui
, o valor da função em
é
Passo 5
Impor a condição de continuidade em
: os dois limites (esquerda e direita) e o valor em
devem coincidir. Já vimos que o limite pela direita e
são iguais entre si (
), então basta igualar o limite pela esquerda a esse valor:
Resolver essa equação passo a passo:
Passo 6
Verificação rápida (só para ficar tranquilo): com
,
Os dois lados coincidem e iguais a
, logo com
a função fica contínua em todo
. Força aí — é só igualar limites naquele ponto de quebra!