Questão 2. [2 pts.] Determine se existe um valor de c que torna a função abaixo contínua
f(x)= \begin{cases}c x^{2}+2 x, & \text { se } x<2 \\\ x^{3}-c x, & \text { se } x \geq 2\end{cases}

Passo 1

O enunciado dá uma função definida por partes:
f(x)= \begin{cases}c x^{2}+2 x, & \text{se } x<2,\\[4pt] x^{3}-c x, & \text{se } x\ge 2,\end{cases}
e pede para determinar se existe um valor de c que torne f contínua. Informação importante que já vem no enunciado:
  • A quebra potencial de definição ocorre em x=2 (porque as duas fórmulas trocam exatamente nesse ponto).
  • Para x<2 temos a expressão c x^{2}+2x.
  • Para x\ge 2 temos a expressão x^{3}-c x.]

Passo 2

Relembrando o conceito essencial: uma função f é contínua em um ponto a se e somente se
\lim_{x\to a^-} f(x)=\lim_{x\to a^+} f(x)=f(a).
Aqui cada ramo é um polinômio (polinômios são contínuos em todo lugar), então não haverá problemas de continuidade para x\ne 2. Logo, a única questão é a continuidade em x=2. Para que f seja contínua em x=2 precisamos exatamente que o limite pela esquerda em 2 coincida com o valor em 2 (que é dado pelo ramo x\ge2).

Passo 3

Calcular o limite pela esquerda em x=2. No ramo x<2 temos f(x)=c x^{2}+2x. Como é um polinômio, o limite ao aproximar x de 2 pela esquerda é o mesmo que avaliar em x=2. Assim
\lim_{x\to2^-} f(x)=c\cdot 2^{2}+2\cdot 2=4c+4.

Passo 4

Calcular o limite pela direita e o valor de f(2). No ramo x\ge2 temos f(x)=x^{3}-c x. Novamente, sendo polinômio,
\lim_{x\to2^+} f(x)=2^{3}-c\cdot 2=8-2c.
E como esse ramo inclui x=2, o valor da função em 2 é
f(2)=8-2c.

Passo 5

Impor a condição de continuidade em x=2: os dois limites (esquerda e direita) e o valor em 2 devem coincidir. Já vimos que o limite pela direita e f(2) são iguais entre si ( 8-2c), então basta igualar o limite pela esquerda a esse valor:
4c+4=8-2c.
Resolver essa equação passo a passo:
4c+2c=8-4,
6c=4,
c=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}.

Passo 6

Verificação rápida (só para ficar tranquilo): com c=\dfrac{2}{3},
\lim_{x\to2^-} f(x)=4c+4=4\cdot\frac{2}{3}+4=\frac{8}{3}+\frac{12}{3}=\frac{20}{3},
\lim_{x\to2^+} f(x)=8-2c=8-2\cdot\frac{2}{3}=8-\frac{4}{3}=\frac{24}{3}-\frac{4}{3}=\frac{20}{3}.
Os dois lados coincidem e iguais a f(2), logo com c=\dfrac{2}{3} a função fica contínua em todo \mathbb{R}. Força aí — é só igualar limites naquele ponto de quebra!

Resposta

\displaystyle c=\frac{2}{3}

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