Questão 3. [2 pts.] Prove que a equação
possui, pelo menos, uma raiz real.
Passo 1
O enunciado pede que se prove que a equação
possui, pelo menos, uma raiz real.
Informações dadas (explicitadas):
Informações dadas (explicitadas):
- A equação é polinomial de grau cinco com coeficientes reais.
- Quer-se apenas a existência de pelo menos uma solução real (não é necessário encontrar o valor numérico da raiz).
Passo 2
Transformar o problema em linguagem de funções: defina a função
Uma raiz real da equação corresponde a um ponto
tal que
. Portanto, provar que a equação tem uma raiz real equivale a provar que existe
com
.
Passo 3
Explicação sobre continuidade (didática e necessária para o método):
Intuitivamente, uma função é contínua se não tem “buracos” ou “saltos” — ao aproximar de um ponto
, os valores
aproximam-se de
. Formalmente,
é contínua em
se
.
Importante para nós: todo polinômio é contínuo em . Por quê? Porque as funções elementares
e constantes são contínuas, potências e produtos e somas de funções contínuas são contínuas. Assim
é contínua em todo
.
Intuitivamente, uma função é contínua se não tem “buracos” ou “saltos” — ao aproximar
Importante para nós: todo polinômio é contínuo em
Passo 4
Avaliar
em um ponto onde fique negativo (vou calcular passo a passo):
Calcule cada termo:
Logo
Portanto
.
Passo 5
Avaliar
em outro ponto onde o valor seja positivo (escolho
pela simplicidade):
Portanto
.
Passo 6
Enunciado do Teorema do Valor Intermediário (TVI) — explicado de forma simples: se uma função
é contínua num intervalo
e
e
têm sinais opostos (ou seja,
), então existe
tal que
. A ideia é que, por continuidade, a função precisa “passar por” zero ao ir de um valor negativo até um valor positivo.
Passo 7
Aplicação do TVI a
no intervalo
: já mostramos que
é contínua em
, que
e que
. Como
, pelo Teorema do Valor Intermediário existe
tal que
Isso prova que a equação
tem pelo menos uma raiz real (de fato, pelo menos uma dentro do intervalo
).
Resposta
Existe pelo menos uma raiz real em
.