Questão 3. [2 pts.] Prove que a equação x^{5}-3 x^{2}+23=0 possui, pelo menos, uma raiz real.

Passo 1

O enunciado pede que se prove que a equação \,x^{5}-3 x^{2}+23=0\, possui, pelo menos, uma raiz real.
Informações dadas (explicitadas):
  • A equação é polinomial de grau cinco com coeficientes reais.
  • Quer-se apenas a existência de pelo menos uma solução real (não é necessário encontrar o valor numérico da raiz).

Passo 2

Transformar o problema em linguagem de funções: defina a função
f(x)=x^{5}-3x^{2}+23.
Uma raiz real da equação corresponde a um ponto x\in\mathbb{R} tal que f(x)=0. Portanto, provar que a equação tem uma raiz real equivale a provar que existe c\in\mathbb{R} com f\text{(c)}=0.

Passo 3

Explicação sobre continuidade (didática e necessária para o método):
Intuitivamente, uma função é contínua se não tem “buracos” ou “saltos” — ao aproximar x de um ponto a, os valores f(x) aproximam-se de f(a). Formalmente, f é contínua em a se \lim_{x\to a} f(x)=f(a).
Importante para nós: todo polinômio é contínuo em \mathbb{R}. Por quê? Porque as funções elementares x\mapsto x e constantes são contínuas, potências e produtos e somas de funções contínuas são contínuas. Assim f é contínua em todo \mathbb{R}.

Passo 4

Avaliar f em um ponto onde fique negativo (vou calcular passo a passo):
f(-2)=(-2)^{5}-3(-2)^{2}+23.
Calcule cada termo:
(-2)^{5}=-32,\qquad (-2)^{2}=4,\qquad -3\cdot 4=-12.
Logo
f(-2)=-32-12+23=-44+23=-21.
Portanto f(-2)=-21<0.

Passo 5

Avaliar f em outro ponto onde o valor seja positivo (escolho 0 pela simplicidade):
f(0)=0^{5}-3\cdot 0^{2}+23=23.
Portanto f(0)=23>0.

Passo 6

Enunciado do Teorema do Valor Intermediário (TVI) — explicado de forma simples: se uma função g é contínua num intervalo [a,b] e g(a) e g(b) têm sinais opostos (ou seja, g(a)\cdot g(b)<0), então existe c\in(a,b) tal que g\text{(c)}=0. A ideia é que, por continuidade, a função precisa “passar por” zero ao ir de um valor negativo até um valor positivo.

Passo 7

Aplicação do TVI a f no intervalo [-2,0]: já mostramos que f é contínua em \mathbb{R}, que f(-2)=-21<0 e que f(0)=23>0. Como f(-2)\cdot f(0)<0, pelo Teorema do Valor Intermediário existe c\in(-2,0) tal que
f\text{(c)}=0.
Isso prova que a equação \,x^{5}-3x^{2}+23=0\, tem pelo menos uma raiz real (de fato, pelo menos uma dentro do intervalo (-2,0)).

Resposta

Existe pelo menos uma raiz real em (-2,0).

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