Questão 4. [2 pts.] Encontre as assíntotas horizontais e verticais de cada curva.
Passo 1
O enunciado pede: “Encontre as assíntotas horizontais e verticais de cada curva” para a função
Informações relevantes que o enunciado dá:
- A função é
. - A raiz quadrada
está definida para todo . - O denominador
pode ser zero em algum ponto; isso indica possíveis assíntotas verticais.
As perguntas a responder são: - Quais são as assíntotas verticais (se houver) e o comportamento da função perto delas?
- Quais são as assíntotas horizontais (se houver), isto é, quais os limites quando
e ?
Passo 2
Primeiro encontramos o domínio e os pontos onde o denominador é zero.
- O denominador anula-se quando
, isto é em . - A raiz existe para todo
, então o único ponto excluído do domínio é .
Portanto o domínio é. Esse ponto é candidato a assíntota vertical porque o denominador vai a zero aí.
Passo 3
Para ter uma assíntota vertical em
precisamos que a função tenda a
quando
se aproxima desse ponto lateralmente. Verificamos o numerador no ponto:
Esse valor é finito e diferente de zero. Logo, perto de
o numerador tende a uma constante positiva enquanto o denominador tende a zero, o que costuma provocar limites infinitos (assíntota vertical).
Passo 4
Agora calculamos os limites laterais em
para identificar o sinal infinito:
- Observe que o numerador é sempre positivo:
para todo . - O sinal do denominador
é negativo para e positivo para .
Portanto:
Conclui-se que
é, de fato, uma assíntota vertical; a função vai para
pela esquerda e para
pela direita.
Passo 5
Agora procuramos assíntotas horizontais: calcular os limites quando
e
. Uma técnica útil é escrever a raiz em função de
:
Assim a função fica
É conveniente fatorar
no denominador também, escrevendo
. Então
A fração
captura o sinal de
: vale
para
e
para
.
Passo 6
Limite quando
:
- Para
tem-se , e . - Portanto
Logo existe uma assíntota horizontal à direita:
.
Passo 7
Limite quando
:
- Para
tem-se , e . - Assim
Logo existe uma assíntota horizontal à esquerda:
.
Passo 8
Resumo interpretativo (para aplicar na prova): a presença de
na raiz faz com que o comportamento para
e
seja diferente em sinal; por isso a função tem duas assíntotas horizontais distintas, uma para cada infinito. A única assíntota vertical aparece onde o denominador zera e o numerador não zera.