Questão 4. [2 pts.] Encontre as assíntotas horizontais e verticais de cada curva.
y=\frac{\sqrt{2 x^{2}+1}}{3 x-5}

Passo 1

O enunciado pede: “Encontre as assíntotas horizontais e verticais de cada curva” para a função
y=\frac{\sqrt{2 x^{2}+1}}{3 x-5}.
Informações relevantes que o enunciado dá:
  • A função é y=\dfrac{\sqrt{2x^{2}+1}}{3x-5}.
  • A raiz quadrada \sqrt{2x^{2}+1} está definida para todo x\in\mathbb{R}.
  • O denominador 3x-5 pode ser zero em algum ponto; isso indica possíveis assíntotas verticais.
    As perguntas a responder são:
  • Quais são as assíntotas verticais (se houver) e o comportamento da função perto delas?
  • Quais são as assíntotas horizontais (se houver), isto é, quais os limites quando x\to+\infty e x\to-\infty?

Passo 2

Primeiro encontramos o domínio e os pontos onde o denominador é zero.
  • O denominador anula-se quando 3x-5=0, isto é em x=\dfrac{5}{3}.
  • A raiz existe para todo x, então o único ponto excluído do domínio é x=\dfrac{5}{3}.
    Portanto o domínio é \mathbb{R}\setminus\{\tfrac{5}{3}\}. Esse ponto é candidato a assíntota vertical porque o denominador vai a zero aí.

Passo 3

Para ter uma assíntota vertical em x=\tfrac{5}{3} precisamos que a função tenda a \pm\infty quando x se aproxima desse ponto lateralmente. Verificamos o numerador no ponto:
\sqrt{2\left(\tfrac{5}{3}\right)^{2}+1}=\sqrt{2\cdot\frac{25}{9}+1}=\sqrt{\frac{50}{9}+\frac{9}{9}}=\sqrt{\frac{59}{9}}=\frac{\sqrt{59}}{3}.
Esse valor é finito e diferente de zero. Logo, perto de x=\tfrac{5}{3} o numerador tende a uma constante positiva enquanto o denominador tende a zero, o que costuma provocar limites infinitos (assíntota vertical).

Passo 4

Agora calculamos os limites laterais em x=\tfrac{5}{3} para identificar o sinal infinito:
  • Observe que o numerador é sempre positivo: \sqrt{2x^{2}+1}>0 para todo x.
  • O sinal do denominador 3x-5 é negativo para x<\tfrac{5}{3} e positivo para x>\tfrac{5}{3}.
    Portanto:
\lim_{x\to\left(\tfrac{5}{3}\right)^-}\frac{\sqrt{2x^{2}+1}}{3x-5}=-\infty, \qquad \lim_{x\to\left(\tfrac{5}{3}\right)^+}\frac{\sqrt{2x^{2}+1}}{3x-5}=+\infty.
Conclui-se que x=\dfrac{5}{3} é, de fato, uma assíntota vertical; a função vai para -\infty pela esquerda e para +\infty pela direita.

Passo 5

Agora procuramos assíntotas horizontais: calcular os limites quando x\to+\infty e x\to-\infty. Uma técnica útil é escrever a raiz em função de |x|:
\sqrt{2x^{2}+1}=|x|\sqrt{2+\frac{1}{x^{2}}}.
Assim a função fica
y=\frac{|x|\sqrt{2+\frac{1}{x^{2}}}}{3x-5}.
É conveniente fatorar x no denominador também, escrevendo 3x-5=x\left(3-\frac{5}{x}\right). Então
y=\frac{|x|}{x}\cdot\frac{\sqrt{2+\frac{1}{x^{2}}}}{3-\frac{5}{x}}.
A fração \dfrac{|x|}{x} captura o sinal de x: vale +1 para x>0 e -1 para x<0.

Passo 6

Limite quando x\to+\infty:
  • Para x\to+\infty tem-se \dfrac{|x|}{x}=1, \dfrac{1}{x^{2}}\to0 e \dfrac{5}{x}\to0.
  • Portanto
\lim_{x\to+\infty}y =\lim_{x\to+\infty}\frac{|x|}{x}\cdot\frac{\sqrt{2+\frac{1}{x^{2}}}}{3-\frac{5}{x}} =1\cdot\frac{\sqrt{2+0}}{3-0}=\frac{\sqrt{2}}{3}.
Logo existe uma assíntota horizontal à direita: y=\dfrac{\sqrt{2}}{3}.

Passo 7

Limite quando x\to-\infty:
  • Para x\to-\infty tem-se \dfrac{|x|}{x}=-1, \dfrac{1}{x^{2}}\to0 e \dfrac{5}{x}\to0.
  • Assim
\lim_{x\to-\infty}y =\lim_{x\to-\infty}\frac{|x|}{x}\cdot\frac{\sqrt{2+\frac{1}{x^{2}}}}{3-\frac{5}{x}} =-1\cdot\frac{\sqrt{2+0}}{3-0}=-\frac{\sqrt{2}}{3}.
Logo existe uma assíntota horizontal à esquerda: y=-\dfrac{\sqrt{2}}{3}.

Passo 8

Resumo interpretativo (para aplicar na prova): a presença de |x| na raiz faz com que o comportamento para +\infty e -\infty seja diferente em sinal; por isso a função tem duas assíntotas horizontais distintas, uma para cada infinito. A única assíntota vertical aparece onde o denominador zera e o numerador não zera.

Resposta

x=\dfrac{5}{3} é uma assíntota vertical, com
\displaystyle\lim_{x\to\left(\tfrac{5}{3}\right)^-}y=-\infty e \displaystyle\lim_{x\to\left(\tfrac{5}{3}\right)^+}y=+\infty.
y=\dfrac{\sqrt{2}}{3} é assíntota horizontal quando x\to+\infty.
y=-\dfrac{\sqrt{2}}{3} é assíntota horizontal quando x\to-\infty.

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