Questão 3. [2 pts.] A função diferenciável
é dada implicitamente pela equação
. Expresse
e
em termos de
e
.
Passo 1
O enunciado pede para expressar
e
em termos de
e
, sabendo que
é diferenciável e é dada implicitamente por uma equação envolvendo
. A fórmula escrita no enunciado aparece como
, o que é ambíguo. Vou adotar a interpretação padrão e plausível que torna o problema interessante e típico de prova, a saber:
Portanto a pergunta é: a partir da equação
encontre expressões para
e
em termos de
.
Passo 2
Estratégia (sem fazer contas ainda): usar diferenciação implícita. Vou construir uma função auxiliar
de modo que a condição dada é
. A regra geral que vamos usar é: se
e
é diferenciável, então diferenciando em relação a
(com
fixo) obtemos
logo
Analogamente para
:
Aqui
,
,
são as derivadas parciais de
tratando as outras variáveis como constantes. Vou explicar cada uma ao calcular.
Passo 3
Defino explicitamente
Note que
é exatamente a equação implícita que define
.
Passo 4
Calculo as derivadas parciais de
(cada passo explicado):
- Para
: trato e como constantes. A derivada de em relação a é (porque a derivada de é e ficam multiplicando). A derivada de é . As parcelas , e são constantes em relação a . Assim
- Para
: trato e como constantes. A derivada de em relação a é . A derivada de é . Logo
- Para
: trato e como constantes. A derivada de em relação a é . A derivada de é . Assim
Passo 5
Aplico a fórmula da diferenciação implícita:
- Para
: usamos . Substituindo e obtém-se
Expliquei antes: isso veio de diferenciar
em relação a
e isolar
.
- Para
: usamos . Substituindo e obtém-se
Observação prática: essas fórmulas só valem quando o denominador não é zero, isto é, quando
. Isso coincide com a condição do Teorema da Função Implícita que garante existência de uma função
diferenciável localmente.