Questão 3. [2 pts.] A função diferenciável z=z(x, y) é dada implicitamente pela equação x y z=x^{3}=y^{3}=z^{3}=5. Expresse z_{x} e z_{y} em termos de x, y e z.

Passo 1

O enunciado pede para expressar \,z_x e \,z_y em termos de x,\;y e z, sabendo que z=z(x,y) é diferenciável e é dada implicitamente por uma equação envolvendo x,y,z. A fórmula escrita no enunciado aparece como x y z=x^{3}=y^{3}=z^{3}=5, o que é ambíguo. Vou adotar a interpretação padrão e plausível que torna o problema interessante e típico de prova, a saber:
x y z + x^{3} + y^{3} + z^{3} = 5.
Portanto a pergunta é: a partir da equação
x y z + x^{3} + y^{3} + z^{3} = 5,
encontre expressões para \,z_x e \,z_y em termos de x,\;y,\;z.

Passo 2

Estratégia (sem fazer contas ainda): usar diferenciação implícita. Vou construir uma função auxiliar
F(x,y,z)=x y z + x^{3}+y^{3}+z^{3}-5,
de modo que a condição dada é F(x,y,z)=0. A regra geral que vamos usar é: se F(x,y,z)=0 e z=z(x,y) é diferenciável, então diferenciando em relação a x (com y fixo) obtemos
\frac{\partial}{\partial x}F(x,y,z(x,y))=F_x+F_z\,z_x=0,
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z_x=-\frac{F_x}{F_z}.
Analogamente para y:
z_y=-\frac{F_y}{F_z}.
Aqui F_x, F_y, F_z são as derivadas parciais de F tratando as outras variáveis como constantes. Vou explicar cada uma ao calcular.

Passo 3

Defino explicitamente
F(x,y,z)=x y z + x^{3}+y^{3}+z^{3}-5.
Note que F(x,y,z)=0 é exatamente a equação implícita que define z.

Passo 4

Calculo as derivadas parciais de F (cada passo explicado):
  • Para F_x: trato y e z como constantes. A derivada de x y z em relação a x é y z (porque a derivada de x é 1 e y z ficam multiplicando). A derivada de x^{3} é 3x^{2}. As parcelas y^{3}, z^{3} e -5 são constantes em relação a x. Assim
F_x = y z + 3x^{2}.
  • Para F_y: trato x e z como constantes. A derivada de x y z em relação a y é x z. A derivada de y^{3} é 3y^{2}. Logo
F_y = x z + 3y^{2}.
  • Para F_z: trato x e y como constantes. A derivada de x y z em relação a z é x y. A derivada de z^{3} é 3z^{2}. Assim
F_z = x y + 3z^{2}.

Passo 5

Aplico a fórmula da diferenciação implícita:
  • Para \,z_x: usamos z_x=-\dfrac{F_x}{F_z}. Substituindo F_x e F_z obtém-se
z_x = -\frac{y z + 3x^{2}}{x y + 3z^{2}}.
Expliquei antes: isso veio de diferenciar F(x,y,z(x,y))=0 em relação a x e isolar z_x.
  • Para \,z_y: usamos z_y=-\dfrac{F_y}{F_z}. Substituindo F_y e F_z obtém-se
z_y = -\frac{x z + 3y^{2}}{x y + 3z^{2}}.
Observação prática: essas fórmulas só valem quando o denominador não é zero, isto é, quando x y + 3z^{2}\neq 0. Isso coincide com a condição do Teorema da Função Implícita que garante existência de uma função z(x,y) diferenciável localmente.

Resposta

z_x = -\frac{y z + 3x^{2}}{x y + 3z^{2}}
z_y = -\frac{x z + 3y^{2}}{x y + 3z^{2}}

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