Questão 2. [2,5 pts.] Sejam
e
. Calcule
.
Passo 1
O enunciado dá duas funções: a função vetor
e a função escalar
Pede-se calcular a derivada temporal da composição
, ou seja,
.
Informações relevantes listadas:
Informações relevantes listadas:
-
é um vetor com duas componentes dependentes de um parâmetro escalar (vou chamar esse parâmetro de quando for necessário). -
é uma função escalar de ; a composição usa . - Objetivo: aplicar a regra da cadeia componente a componente e obter a derivada em termos de
(podendo deixar explícito quando conveniente).
Passo 2
Princípio usado (explicação didática da regra da cadeia para vetores): se
e
, então por regra da cadeia a derivada é feita componente a componente:
Aqui
e
são derivadas de
e
em relação ao seu argumento
, e
é a derivada escalar de
. Ou seja, primeiro derivamos cada componente em relação ao argumento interno
, avaliamos em
e depois multiplicamos por
. Isso é exatamente a versão componente da regra da cadeia.
Passo 3
Calcular as derivadas das componentes de
em relação a
. Vou reescrever as componentes trocando o parâmetro por
:
Derivando termo a termo:
- Para
:
(Usei que
e
.)
- Para
:
(Aqui derivadas:
,
,
, e multiplique pelos coeficientes.)
Passo 4
Calcular
passo a passo. Escrevo
com
Derivo
:
(Usei a regra da potência:
, com
e
.)
Agora , pela regra da cadeia (derivada do exponencial):
Agora
Portanto
Passo 5
Aplicar a fórmula do Passo 2 usando as derivadas dos Passos 3 e 4. Substituindo
em
e
e multiplicando por
temos
Substituindo explicitamente:
e
Multiplicando escalarmente:
Se quiser, dá para simplificar fatorando
ou
dentro das componentes; por exemplo a primeira componente fica
mas a forma anterior já é correta e clara.