Questão 2. [2,5 pts.] Sejam \vec{r}(t)=\left(3 t^{2}+2 t, 9 t^{4}+12 t^{3}+4 t^{2}\right) e f(t)=\exp \left(-\frac{1}{1+t^{2}}\right). Calcule \frac{d}{d t} \vec{r}(f(t)).

Passo 1

O enunciado dá duas funções: a função vetor
\vec{r}(t)=\bigl(3t^{2}+2t,\;9t^{4}+12t^{3}+4t^{2}\bigr)
e a função escalar
f(t)=\exp\!\left(-\frac{1}{1+t^{2}}\right).
Pede-se calcular a derivada temporal da composição \vec{r}(f(t)), ou seja, \dfrac{d}{dt}\vec{r}(f(t)).
Informações relevantes listadas:
  • \vec{r} é um vetor com duas componentes dependentes de um parâmetro escalar (vou chamar esse parâmetro de s quando for necessário).
  • f(t) é uma função escalar de t; a composição usa s=f(t).
  • Objetivo: aplicar a regra da cadeia componente a componente e obter a derivada em termos de t (podendo deixar explícito f(t) quando conveniente).

Passo 2

Princípio usado (explicação didática da regra da cadeia para vetores): se \vec{r}(s)=(x(s),y(s)) e s=f(t), então por regra da cadeia a derivada é feita componente a componente:
\frac{d}{dt}\vec{r}(f(t))=\left(x'(f(t)),\;y'(f(t))\right)\cdot f'(t).
Aqui x'(s) e y'(s) são derivadas de x e y em relação ao seu argumento s, e f'(t) é a derivada escalar de f. Ou seja, primeiro derivamos cada componente em relação ao argumento interno s, avaliamos em s=f(t) e depois multiplicamos por f'(t). Isso é exatamente a versão componente da regra da cadeia.

Passo 3

Calcular as derivadas das componentes de \vec{r}(s) em relação a s. Vou reescrever as componentes trocando o parâmetro por s:
x(s)=3s^{2}+2s,\qquad y(s)=9s^{4}+12s^{3}+4s^{2}.
Derivando termo a termo:
  • Para x(s):
x'(s)=\frac{d}{ds}\bigl(3s^{2}+2s\bigr)=6s+2.
(Usei que \frac{d}{ds}s^{2}=2s e \frac{d}{ds}s=1.)
  • Para y(s):
y'(s)=\frac{d}{ds}\bigl(9s^{4}+12s^{3}+4s^{2}\bigr)=36s^{3}+36s^{2}+8s.
(Aqui derivadas: \frac{d}{ds}s^{4}=4s^{3}, \frac{d}{ds}s^{3}=3s^{2}, \frac{d}{ds}s^{2}=2s, e multiplique pelos coeficientes.)

Passo 4

Calcular f'(t) passo a passo. Escrevo f(t)=\exp(g(t)) com
g(t)=-\frac{1}{1+t^{2}}=-(1+t^{2})^{-1}.
Derivo g(t):
g'(t)=-\frac{d}{dt}(1+t^{2})^{-1}=-\bigl(-1\bigr)(1+t^{2})^{-2}\cdot 2t=\frac{2t}{(1+t^{2})^{2}}.
(Usei a regra da potência: \frac{d}{dt}(u)^{-1}=-u^{-2}u', com u=1+t^{2} e u'=2t.)
Agora f'(t), pela regra da cadeia (derivada do exponencial):
f'(t)=\exp(g(t))\cdot g'(t)=f(t)\cdot\frac{2t}{(1+t^{2})^{2}}.
Portanto
f'(t)=\frac{2t}{(1+t^{2})^{2}}\,f(t).

Passo 5

Aplicar a fórmula do Passo 2 usando as derivadas dos Passos 3 e 4. Substituindo s=f(t) em x'(s) e y'(s) e multiplicando por f'(t) temos
\frac{d}{dt}\vec{r}(f(t))=f'(t)\bigl(x'(f(t)),\,y'(f(t))\bigr).
Substituindo explicitamente:
x'(f(t))=6f(t)+2,\qquad y'(f(t))=36f(t)^{3}+36f(t)^{2}+8f(t),
e
f'(t)=\frac{2t}{(1+t^{2})^{2}}\,f(t).
Multiplicando escalarmente:
\frac{d}{dt}\vec{r}(f(t))= \frac{2t}{(1+t^{2})^{2}}\,f(t)\,\bigl(6f(t)+2,\;36f(t)^{3}+36f(t)^{2}+8f(t)\bigr).
Se quiser, dá para simplificar fatorando 2 ou f(t) dentro das componentes; por exemplo a primeira componente fica
\frac{2t}{(1+t^{2})^{2}}\bigl(6f(t)^{2}+2f(t)\bigr)=\frac{4t}{(1+t^{2})^{2}}\,f(t)\bigl(3f(t)+1\bigr),
mas a forma anterior já é correta e clara.

Resposta

\frac{d}{dt}\vec{r}(f(t))=\frac{2t}{(1+t^{2})^{2}}\,f(t)\left(6f(t)+2,\;36f(t)^{3}+36f(t)^{2}+8f(t)\right).

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