Exercício 2.4 Determine se a série geométrica é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule sua soma.
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{\pi^{n}}{3^{n+1}}

Passo 1

O que o enunciado pede: determinar se a série
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{\pi^{n}}{3^{n+1}}
é convergente ou divergente. Se for convergente, calcular a soma. Informações dadas: a série está escrita termo a termo com n variando de 1 até +\infty e cada termo é \dfrac{\pi^{n}}{3^{n+1}}. Não há outras informações externas.

Passo 2

Conhecimento básico necessário (explicado passo a passo):
A definição padrão de uma série geométrica é a soma dos termos de uma sequência da forma ar^{n} (ou ar^{n-1}), onde a é o primeiro coeficiente e r é a razão. O resultado fundamental é:
\sum_{n=0}^{\infty} a r^{n} = \frac{a}{1-r}\quad\text{se, e somente se, }|r|<1.
Se |r|\ge 1, a série geométrica diverge (não tem soma finita). Outra observação importante (teste necessário de convergência): se uma série \sum a_n converge então os termos a_n devem tender a 0. Logo, se \lim_{n\to\infty} a_n \neq 0, a série diverge.

Passo 3

Reescrever a série dada numa forma geométrica clara. Podemos fatorar 3^{n+1}=3\cdot 3^{n}, então
\frac{\pi^{n}}{3^{n+1}}=\frac{1}{3}\left(\frac{\pi}{3}\right)^{n}.
Portanto a série original pode ser escrita como
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\pi^{n}}{3^{n+1}}=\frac{1}{3}\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{\pi}{3}\right)^{n}.

Passo 4

Identificar a razão e aplicar o critério. Na soma \sum_{n=1}^{\infty}\left(\dfrac{\pi}{3}\right)^{n} a razão é
r=\frac{\pi}{3}.
Sabemos que \pi\approx 3{,}14159, logo \dfrac{\pi}{3}\approx 1{,}0472>1. Como |r|>1, a série geométrica \sum_{n=1}^{\infty} r^{n} diverge — não se pode usar a fórmula da soma porque ela vale apenas quando |r|<1.
Além disso, examinando os termos:
a_n=\frac{1}{3}\left(\frac{\pi}{3}\right)^{n}.
Como \dfrac{\pi}{3}>1, temos \left(\dfrac{\pi}{3}\right)^{n}\to +\infty quando n\to\infty, portanto a_n não tende a 0 (tende a +\infty). Pelo teste necessário de convergência, a série não pode convergir.

Passo 5

Conclusão final e interpretação prática: a razão ser maior que 1 faz com que os termos cresçam e a soma parcial cresça sem bound; portanto a série diverge e não tem soma finita.

Resposta

A série diverge (não é convergente).

Exercícios relacionados