Exercício 2.4 Determine se a série geométrica é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule sua soma.
Passo 1
O que o enunciado pede: determinar se a série
é convergente ou divergente. Se for convergente, calcular a soma. Informações dadas: a série está escrita termo a termo com
variando de
até
e cada termo é
. Não há outras informações externas.
Passo 2
Conhecimento básico necessário (explicado passo a passo):
A definição padrão de uma série geométrica é a soma dos termos de uma sequência da forma (ou
), onde
é o primeiro coeficiente e
é a razão. O resultado fundamental é:
A definição padrão de uma série geométrica é a soma dos termos de uma sequência da forma
Se
, a série geométrica diverge (não tem soma finita). Outra observação importante (teste necessário de convergência): se uma série
converge então os termos
devem tender a
. Logo, se
, a série diverge.
Passo 3
Reescrever a série dada numa forma geométrica clara. Podemos fatorar
, então
Portanto a série original pode ser escrita como
Passo 4
Identificar a razão e aplicar o critério. Na soma
a razão é
Sabemos que
, logo
. Como
, a série geométrica
diverge — não se pode usar a fórmula da soma porque ela vale apenas quando
.
Além disso, examinando os termos:
Como
, temos
quando
, portanto
não tende a
(tende a
). Pelo teste necessário de convergência, a série não pode convergir.
Passo 5
Conclusão final e interpretação prática: a razão ser maior que
faz com que os termos cresçam e a soma parcial cresça sem bound; portanto a série diverge e não tem soma finita.
Resposta
A série diverge (não é convergente).