Calcule as derivadas das funções:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada da função
Informações importantes fornecidas:
Não há outras perguntas separadas; a única missão é encontrar
, a derivada dessa função em relação a
.
Passo 2
Primeiro reescrevo a função de uma forma que facilita aplicar regras de derivação:
Isto é só a raiz quadrada escrita como potência
. Essa forma já nos dá pista do uso da regra da cadeia (vamos explicar isso no próximo passo).
Passo 3
Explicando a regra da cadeia de forma simples e prática:
Se tivermos onde
depende de
, a regra da cadeia diz que
Se tivermos
Aqui
é a derivada da função externa
avaliada em
e
é a derivada da função interna. Em linguagem mais direta: derivamos a raiz como potência e multiplicamos pela derivada do que está dentro da raiz.
Passo 4
Agora identifico a função interna
e calculo sua derivada:
Para derivar
aplico a regra de derivação de uma diferença e a regra da cadeia para
. A derivada de
é
. Para
uso que, se
, então
’ =
. Como
, temos
Portanto
Passo 5
Agora aplico a regra da cadeia da Passo 3 com
e
. Assim
Faço a simplificação algébrica cancelando o
:
Passo 6
Podemos dar uma forma trigonométrica alternativa usando a identidade
. Como
, segue que
Ambas as expressões são equivalentes; escolhe-se a que achar mais clara na prova.
Passo 7
Verificação rápida do domínio e sinais (para evitar surpresas na prova):
Como para todo
, temos
. Ou seja, a expressão dentro da raiz é sempre positiva e a raiz é bem definida para todo
. Não precisamos introduzir valor absoluto extra por causa da raiz neste caso. Portanto a derivada acima vale para todo
.
Como
Passo 8
Exemplo numérico rápido para ganhar confiança: em
,
o que faz sentido porque a função tem comportamento horizontal nesse ponto.