Calcule as derivadas das funções:
y=\sqrt{2-\cos ^{2} x}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função
y=\sqrt{2-\cos^{2}x}.
Informações importantes fornecidas:
\text{Dado: }y=\sqrt{2-\cos^{2}x}.
Não há outras perguntas separadas; a única missão é encontrar y', a derivada dessa função em relação a x.

Passo 2

Primeiro reescrevo a função de uma forma que facilita aplicar regras de derivação:
y=(2-\cos^{2}x)^{1/2}.
Isto é só a raiz quadrada escrita como potência 1/2. Essa forma já nos dá pista do uso da regra da cadeia (vamos explicar isso no próximo passo).

Passo 3

Explicando a regra da cadeia de forma simples e prática:
Se tivermos \;y=(u(x))^{1/2}\; onde u depende de x, a regra da cadeia diz que
\frac{dy}{dx}=\frac{1}{2}(u(x))^{-1/2}\cdot u'(x).
Aqui \frac{1}{2}(u)^{-1/2} é a derivada da função externa t^{1/2} avaliada em t=u(x) e u'(x) é a derivada da função interna. Em linguagem mais direta: derivamos a raiz como potência e multiplicamos pela derivada do que está dentro da raiz.

Passo 4

Agora identifico a função interna u(x) e calculo sua derivada:
u(x)=2-\cos^{2}x.
Para derivar u aplico a regra de derivação de uma diferença e a regra da cadeia para \cos^{2}x. A derivada de 2 é 0. Para \cos^{2}x uso que, se v(x)=\cos x, então v^{2}’ = 2v\cdot v'. Como v'=\frac{d}{dx}\cos x=-\sin x, temos
\frac{d}{dx}\big(\cos^{2}x\big)=2\cos x\cdot(-\sin x)=-2\cos x\sin x.
Portanto
u'(x)=0 - \big(-2\cos x\sin x\big)=2\cos x\sin x.

Passo 5

Agora aplico a regra da cadeia da Passo 3 com u(x)=2-\cos^{2}x e u'(x)=2\cos x\sin x. Assim
\frac{dy}{dx}=\frac{1}{2}(2-\cos^{2}x)^{-1/2}\cdot\big(2\cos x\sin x\big).
Faço a simplificação algébrica cancelando o 2:
\frac{dy}{dx}=\frac{\cos x\sin x}{\sqrt{2-\cos^{2}x}}.

Passo 6

Podemos dar uma forma trigonométrica alternativa usando a identidade \sin 2x=2\sin x\cos x. Como \cos x\sin x=\dfrac{\sin 2x}{2}, segue que
\frac{dy}{dx}=\frac{\sin 2x}{2\sqrt{2-\cos^{2}x}}.
Ambas as expressões são equivalentes; escolhe-se a que achar mais clara na prova.

Passo 7

Verificação rápida do domínio e sinais (para evitar surpresas na prova):
Como \cos^{2}x\le 1 para todo x, temos 2-\cos^{2}x\ge 1>0. Ou seja, a expressão dentro da raiz é sempre positiva e a raiz é bem definida para todo x. Não precisamos introduzir valor absoluto extra por causa da raiz neste caso. Portanto a derivada acima vale para todo x\in\mathbb{R}.

Passo 8

Exemplo numérico rápido para ganhar confiança: em x=0,
\frac{dy}{dx}\Big|_{x=0}=\frac{\cos 0\cdot\sin 0}{\sqrt{2-\cos^{2}0}}=\frac{1\cdot 0}{\sqrt{2-1}}=0,
o que faz sentido porque a função tem comportamento horizontal nesse ponto.

Resposta

\frac{dy}{dx}=\frac{\cos x\sin x}{\sqrt{2-\cos^{2}x}}
\frac{dy}{dx}=\frac{\sin 2x}{2\sqrt{2-\cos^{2}x}}

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