Durante às aulas, você percebeu que a constante ebuloscópica guarda uma relação com os valores de massa molar e entalpia de vaporização do solvente. Apresente a equação que relaciona essa dependencia. Analise a tabela abaixo e indique exemplos que corroboram tal equação:
Solvente Massa Molar (g/mol) \Delta H_{\text {vap }}(\mathrm{kJ} / \mathrm{mol}) K_{b}\left({ }^{\circ} \mathrm{C} \cdot \mathrm{kg} / \mathrm{mol}\right)
Metanol 32.04 35.27 0.76
Etanol 46.07 38.56 1.22
Benzeno 78.11 30.72 2.53
Clorofórmio 119.38 31.4 3.63
Acetona 58.08 29.1 1.71
N-hexano 86.18 28.85 2.20
Tolueno 92.14 33.18 3.40
Éter Dietílico 74.12 26.0 2.02
Água 18.02 40.79 0.512
Glicerol 92.09 91.0 1.16

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (a) apresentar a equação que relaciona a constante ebulioscópica com a massa molar e a entalpia de vaporização do solvente; (b) analisar a tabela fornecida e indicar exemplos da tabela que corroboram essa equação.
As informações relevantes que o enunciado dá (retiradas diretamente da tabela fornecida): para cada solvente temos a massa molar em \mathrm{g/mol}, a entalpia de vaporização \Delta H_{\text{vap}} em \mathrm{kJ/mol} e a constante ebulioscópica K_b em ^\circ\mathrm{C}\cdot\mathrm{kg}/\mathrm{mol}. Eu vou usar esses valores da tabela para comparar e ilustrar a dependência prevista pela equação.

Passo 2

Vamos obter a expressão teórica que liga K_b, a massa molar M do solvente e a entalpia molar de vaporização \Delta H_{\text{vap}}. Primeiro, um resumo da ideia física (passo-a-passo didático):
  1. Para o vapor em equilíbrio com o líquido puro, a equação de Clausius–Clapeyron (na forma aproximada) é
\ln p = -\frac{\Delta H_{\text{vap}}}{R}\cdot\frac{1}{T} + \text{constante},
onde p é a pressão de vapor, T a temperatura em kelvin e R a constante universal dos gases ( R=8{,}314\\ \mathrm{J/(mol\cdot K)}). Isso mostra que pequenas variações de temperatura alteram a pressão de vapor segundo a sensibilidade \dfrac{d\ln p}{dT}=\dfrac{\Delta H_{\text{vap}}}{R\,T^{2}}.
  1. Para uma solução com soluto não volátil, a pressão de vapor do solvente reduz quando comparada ao solvente puro — pela lei de Raoult temos p_{\text{solução}}=x_{1}\,p^{*}çã, sendo x_{1} a fração molar do solvente e p^{*} a pressão do solvente puro. Para diluições pequenas, a redução da pressão de vapor se relaciona aproximadamente à fração molar do soluto x_{2} por p^{*}-p \approx x_{2}\,p^{*}.
  2. Associando as duas ideias (pequeno deslocamento de temperatura \Delta T necessário para que p(T+\Delta T) iguale a nova pressão de vapor reduzida), e linearizando para pequenas \Delta T, chega-se à expressão aproximada
\Delta T \approx \frac{R\,T_{b}^{2}}{\Delta H_{\text{vap}}}\,x_{2},
onde T_{b} é a temperatura normal de ebulição do solvente puro (em K) e x_{2} é a fração molar do soluto.
  1. Para soluções diluídas podemos relacionar a fração molar do soluto x_{2} com a molalidade m (mol de soluto por kg de solvente). Tomando 1 kg de solvente: número de mols de solvente n_{1}=1000/M se M está em \mathrm{g/mol}; número de mols de soluto em molalidade m é n_{2}=m. Para m pequeno,
x_{2}\approx \frac{n_{2}}{n_{1}}=\frac{m}{1000/M}=\frac{m\,M}{1000}.

Passo 3

Substituindo x_{2} em \Delta T\approx \dfrac{R\,T_{b}^{2}}{\Delta H_{\text{vap}}}\,x_{2} obtemos a forma clássica da elevação ebulioscópica:
\Delta T = K_{b}\,m
com
\boxed{\,K_{b}=\dfrac{R\,T_{b}^{2}\,M}{1000\,\Delta H_{\text{vap}}}\,}
onde as grandezas significam:
  • K_{b} em ^\circ\mathrm{C}\cdot\mathrm{kg}/\mathrm{mol} (nota: 1\\ \mathrm{K}=1\\ ^\circ\mathrm{C} para variação);
  • R é a constante dos gases 8{,}314\\ \mathrm{J/(mol\cdot K)};
  • T_{b} é a temperatura normal de ebulição do solvente em kelvin;
  • M é a massa molar do solvente em \mathrm{g/mol} (o fator 1000 converte para \mathrm{kg/mol});
  • \Delta H_{\text{vap}} é a entalpia molar de vaporização em \mathrm{J/mol} (se na tabela estiver em \mathrm{kJ/mol}, multiplique por 1000).
Breve interpretação: a fórmula mostra que K_{b} é proporcional à razão M/\Delta H_{\text{vap}} e também cresce com T_{b}^{2}. Em palavras: para um mesmo \Delta H_{\text{vap}} um solvente com maior massa molar tende a ter K_b maior; para mesma massa molar, um solvente com maior \Delta H_{\text{vap}} tende a ter K_b menor. Além disso, solventes com ponto de ebulição maior ( T_b maior) aumentam K_b via o fator T_b^2.

Passo 4

Observações sobre unidades e aproximações (importante para prova):
  • Use M em \mathrm{g/mol} e \Delta H_{\text{vap}} em \mathrm{kJ/mol} convertendo \Delta H para \mathrm{J/mol} (multiplicar por 1000) ou escreva explicitamente o fator 1000 como fiz na fórmula. O fator 1000 do denominador converte M de \mathrm{g/mol} para \mathrm{kg/mol}.
  • A dedução assume solução diluída e soluto não volátil (aproximação de x_{2} pequena). Em prova, vale dizer essas hipóteses.
  • Note que a tabela não lista T_{b} (temperatura de ebulição), de modo que ao comparar números reais de K_b devemos lembrar que diferenças em T_b também afetam K_b via T_b^2. Mesmo assim, se T_b não variar muito entre solventes, a dependência dominante visível é K_b\propto M/\Delta H_{\text{vap}}.

Passo 5

Agora faço comparações quantitativas simples usando os dados da tabela para mostrar exemplos que corroboram a dependência K_b\sim M/\Delta H_{\text{vap}} (usei explicitamente os valores da tabela para esses cálculos). Para cada solvente calculo a razão aproximada \dfrac{M}{\Delta H_{\text{vap}}} usando M em \mathrm{g/mol} e \Delta H_{\text{vap}} em \mathrm{kJ/mol} (apenas para comparação relativa; a constante multiplicativa contendo R e T_b^2 é comum em comparação entre solutos com T_b semelhantes):
\begin{aligned} \text{Metanol:}&\quad \dfrac{M}{\Delta H}=\dfrac{32{,}04}{35{,}27}\approx 0{,}908, & K_b=0{,}76\\\[4pt] \text{Etanol:}&\quad \dfrac{46{,}07}{38{,}56}\approx 1{,}195, & K_b=1{,}22\\\[4pt] \text{Benzeno:}&\quad \dfrac{78{,}11}{30{,}72}\approx 2{,}543, & K_b=2{,}53\\\[4pt] \text{Clorofórmio:}&\quad \dfrac{119{,}38}{31{,}4}\approx 3{,}803, & K_b=3{,}63\\\[4pt] \text{Acetona:}&\quad \dfrac{58{,}08}{29{,}1}\approx 1{,}995, & K_b=1{,}71\\\[4pt] \text{N-hexano:}&\quad \dfrac{86{,}18}{28{,}85}\approx 2{,}987, & K_b=2{,}20\\\[4pt] \text{Tolueno:}&\quad \dfrac{92{,}14}{33{,}18}\approx 2{,}776, & K_b=3{,}40\\\[4pt] \text{Éter dietílico:}&\quad \dfrac{74{,}12}{26{,}0}\approx 2{,}853, & K_b=2{,}02\\\[4pt] \text{Água:}&\quad \dfrac{18{,}02}{40{,}79}\approx 0{,}442, & K_b=0{,}512\\\[4pt] \text{Glicerol:}&\quad \dfrac{92{,}09}{91{,}0}\approx 1{,}012, & K_b=1{,}16 \end{aligned}
Interpretação desses números (exemplos que corroboram a equação):
  • Metanol ( \dfrac{M}{\Delta H}\approx0{,}908) e etanol ( \approx1{,}195): etanol tem maior M/\Delta H e na tabela tem K_b maior ( 1{,}22 vs 0{,}76). Isso corrobora a relação proporcional.
  • Benzeno e clorofórmio: clorofórmio tem a maior razão \dfrac{M}{\Delta H}\approx3{,}803 e apresenta o maior K_b=3{,}63 — novamente compatível com a fórmula.
  • Água: apresenta a menor razão \approx0{,}442 e tem um K_b muito baixo 0{,}512 — consistente com a dependência inversa com \Delta H_{\text{vap}} e direta com M.
  • Exceção explicável: glicerol tem massa molar alta, mas também entalpia de vaporização muito alta ( 91{,}0\\ \mathrm{kJ/mol}), resultando em \dfrac{M}{\Delta H} moderada ( \approx1{,}012) e K_b relativamente baixo ( 1{,}16). Isso mostra que um aumento grande em \Delta H_{\text{vap}} reduz K_b e pode compensar o efeito do M maior — coerente com a fórmula onde \Delta H_{\text{vap}} aparece no denominador.
  • Observação sobre tolueno: tolueno tem \dfrac{M}{\Delta H}\approx2{,}776 e K_b=3{,}40, que é um pouco maior do que se esperaria apenas pela razão M/\Delta H. Isso pode ser explicado porque o fator T_b^{2} (temperatura de ebulição) também entra na fórmula e tolueno tem ponto de ebulição relativamente alto entre os orgânicos listados — portanto T_b^2 tende a aumentar K_b além do efeito M/\Delta H. (A tabela não forneceu T_b, por isso não calculei explicitamente esse fator aqui.)]

Passo 6

Resumo didático e orientação para prova:
  • Fórmula-chave para decorar e justificar em prova:
\boxed{\,K_{b}=\dfrac{R\,T_{b}^{2}\,M}{1000\,\Delta H_{\text{vap}}}\,}
Explique cada símbolo e diga as hipóteses: solução diluída e soluto não volátil; \Delta H_{\text{vap}} em \mathrm{J/mol}, M em \mathrm{g/mol}.
  • Para responder questões de comparação qualitativa use a observação prática: maiores massas molares tendem a aumentar K_b, maiores entalpias de vaporização tendem a diminuir K_b; diferenças no ponto de ebulição T_b (não presente na tabela) também podem alterar K_b via T_b^2.
  • Na prova, se lhe derem apenas M, \Delta H e K_b de alguns solventes, calcule \dfrac{M}{\Delta H_{\text{vap}}} para ver a tendência e lembre-se de mencionar que variações em T_b podem explicar pequenas discrepâncias.

Resposta

K_{b}=\dfrac{R\,T_{b}^{2}\,M}{1000\,\Delta H_{\text{vap}}}
Exemplos da tabela que corroboram a dependência K_b\propto M/\Delta H_{\text{vap}}: Metanol (menor M/\Delta H e K_b=0{,}76) vs Etanol (maior M/\Delta H e K_b=1{,}22); Água (baixo M/\Delta H\approx0{,}442 e K_b=0{,}512); Clorofórmio (alto M/\Delta H\approx3{,}803 e maior K_b=3{,}63). Observação: Glicerol mostra que \Delta H_{\text{vap}} grande pode reduzir K_b mesmo com M alto (glicerol: M/\Delta H\approx1{,}012 e K_b=1{,}16).

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