Questão 3 - Água escoa através de um duto aquecido de 3 cm de diâmetro com velocidade média de 1 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. A temperatura de mistura da água na entrada da seção de aquecimento é 18{ }^{\circ} \mathrm{C}. A potencia transferida para a água é de 20 kW . Calcule a temperatura da água no ponto em que ela deixa o tubo.
\rho=998 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3} ; k=0,59 \mathrm{~W} / \mathrm{m} .{ }^{\circ} \mathrm{C} ; \quad v=1.1 \times 10^{-6} \mathrm{~m}^{2} / \mathrm{s} ; \quad C_{p}=4182 \mathrm{~J} / \mathrm{kg} .{ }^{\circ} \mathrm{C} ; \operatorname{Pr}=6,99

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos dá.
  • Pedido: calcular a temperatura da água no ponto em que ela sai do tubo (temperatura de saída).
  • Dados fornecidos (peguei-os do enunciado):
    • Diâmetro do duto: D=0,03\\ \mathrm{m}.
    • Velocidade média da água: U=1{,}0\\ \mathrm{m/s}.
    • Temperatura de entrada (mistura): T_{\mathrm{in}}=18{,}0^\circ\mathrm{C}.
    • Potência transferida para a água: \dot{Q}=20{.}000\\ \mathrm{W} (20 kW).
    • Densidade da água: \rho=998\\ \mathrm{kg/m^{3}}.
    • Capacidade térmica massiva (calor específico): C_{p}=4182\\ \mathrm{J/(kg\cdot^\circ C)}.
    • Foram também dados k, \nu e \mathrm{Pr}, mas não são necessários quando a potência transferida \dot{Q} já é conhecida.
  • Estratégia de alto nível: usar balanço de energia para o fluxo em regime permanente, relacionando potência fornecida, vazão mássica e elevação de temperatura.

Passo 2

Formulação do balanço de energia que vamos usar e explicação das variáveis.
Em regime estacionário, desprezando variações de energia cinética e potencial e perdas, a potência fornecida \dot{Q} eleva a energia interna da massa de água que passa por segundo. A relação é:
\dot{Q}=\dot{m}\,C_{p}\,\Delta T,
onde
  • \dot{Q} é a potência térmica entregue à água (W);
  • \dot{m} é a vazão mássica (kg/s);
  • C_{p} é o calor específico a pressão constante (J/(kg·°C));
  • \Delta T = T_{\mathrm{out}}-T_{\mathrm{in}} é o aumento de temperatura procurado (°C).
Logo,
\Delta T=\frac{\dot{Q}}{\dot{m}\,C_{p}}, \qquad T_{\mathrm{out}}=T_{\mathrm{in}}+\Delta T.

Passo 3

Cálculo da área da seção transversal do tubo (passo necessário para obter a vazão volumétrica).
A área circular vale
A=\frac{\pi D^{2}}{4}.
Substituindo D=0,03\\ \mathrm{m}:
D^{2}=0,03^{2}=0,0009\\ \mathrm{m^{2}},
A=\frac{\pi\cdot 0,0009}{4}=0,000225\pi\\ \mathrm{m^{2}}\approx 0,000706858\\ \mathrm{m^{2}}.

Passo 4

Cálculo da vazão mássica \dot{m}.
A vazão volumétrica é \dot{V}=A\,U. Então a vazão mássica é
\dot{m}=\rho\,\dot{V}=\rho\,A\,U.
Substituindo os valores:
\dot{V}=0,000706858\cdot 1{,}0 = 0,000706858\\ \mathrm{m^{3}/s},
\dot{m}=998\cdot 0,000706858 \approx 0,70544\\ \mathrm{kg/s}.
(Explicação rápida do cálculo: multiplicou-se a área pelo comprimento de fluido que passa por segundo, depois multiplicou-se pelo \rho para obter massa por segundo.)

Passo 5

Cálculo do aumento de temperatura \Delta T usando o balanço de energia.
Substituindo em \Delta T=\dfrac{\dot{Q}}{\dot{m}\,C_{p}}:
\dot{m}\,C_{p}=0,70544\cdot 4182 \approx 2950{,}17\\ \mathrm{J/(s\cdot^\circ C)}.
Portanto
\Delta T=\frac{20000}{2950{,}17}\approx 6{,}78^\circ\mathrm{C}.

Passo 6

Cálculo da temperatura de saída e interpretação final.
T_{\mathrm{out}}=T_{\mathrm{in}}+\Delta T=18{,}0^\circ\mathrm{C}+6{,}78^\circ\mathrm{C}\approx 24{,}78^\circ\mathrm{C}.
Comentário de conforte: as propriedades k,\nu,\mathrm{Pr} que vieram no enunciado serviriam se fosse necessário calcular coeficiente de transferência de calor convectivo ou potência a partir de temperatura e geometria; aqui a potência \dot{Q} já foi dada, por isso o cálculo é direto pelo balanço de energia.

Resposta

T_{\mathrm{out}}\approx 24{,}8^\circ\mathrm{C}

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