Considera-se um escoamento através de um bocal cônico em regime permanente. A velocidade axial é dada por:
u_{1}=U_{0}\left(1-x_{1} / L\right)^{-2}
Onde \mathrm{U}_{0} \mathrm{e} \mathrm{L} são os valores de velocidade na entrada e comprimento do bocal. Determine uma expressão para a aceleração Lagrangeana e seu valor para x_{1}=1 \mathrm{~m}

Passo 1

O enunciado dá um escoamento permanentemente estabelecido num bocal cônico, com velocidade axial
u_{1}(x_{1}) = U_{0}\bigl(1 - x_{1}/L\bigr)^{-2}
e pede a aceleração Lagrangeana (ou material)
a = \frac{D u_{1}}{D t} \;=\;\frac{\partial u_{1}}{\partial t} + u_{1}\,\frac{\partial u_{1}}{\partial x_{1}}.
Como o regime é permanente, \partial u_{1}/\partial t=0, restando apenas a parte convectiva u_{1}\,\partial u_{1}/\partial x_{1}.

Passo 2

Calcular a derivada espacial
\frac{\partial u_{1}}{\partial x_{1}} =\frac{d}{dx_{1}}\Bigl[\,U_{0}(1 - x_{1}/L)^{-2}\Bigr] =U_{0}\bigl(-2\bigr)(1 - x_{1}/L)^{-3}\,\bigl(-\tfrac{1}{L}\bigr) =\frac{2\,U_{0}}{L}\,(1 - x_{1}/L)^{-3}.

Passo 3

Formar a aceleração convectiva
a(x_{1}) = u_{1}\,\frac{\partial u_{1}}{\partial x_{1}} =U_{0}(1 - x_{1}/L)^{-2}\;\times\;\frac{2\,U_{0}}{L}(1 - x_{1}/L)^{-3} =\frac{2\,U_{0}^{2}}{L}\,(1 - x_{1}/L)^{-5}.

Passo 4

Avaliar em x_{1}=1\:\mathrm{m}:
a(1) =\frac{2\,U_{0}^{2}}{L}\,\bigl(1 - 1/L\bigr)^{-5}.

Resposta

A expressão geral da aceleração Lagrangeana é
a(x_{1})=\frac{2\,U_{0}^{2}}{L}\,\bigl(1 - x_{1}/L\bigr)^{-5}
e, em x_{1}=1\:\mathrm{m},
a(1)=\frac{2\,U_{0}^{2}}{L}\,(1 - 1/L)^{-5}.

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