Questão 20

Considere o seguinte PPL.
min & -2 x1+3 x2 & -x1+2 x2 <= 2 & 2 x1-x2 <= 3 & x2 <= 4 & x1, x2 >= 0
Em qual caso esse PPL se enquadra quanto ao tipo de solução? Justifique.

Passo 1

O enunciado nos dá o problema de programação linear
min;&-2x1+3x2 sujeito a;&-x1+2x2<=2, &2x1-x2<=3, &x2<=4, &x1,x2>=0
O conteúdo aqui é classificação de PPL quanto à existência e tipo de solução (inviável, ilimitado, ótimo único ou múltiplos ótimos). Para decidir, precisamos (i) verificar a região viável, (ii) checar se ela é limitada e (iii) encontrar o mínimo examinando os vértices.

Passo 2

Vamos descrever a região viável. De x1,x2>=0 já temos o primeiro quadrante. A restrição
-x1+2x2<=2
é a região abaixo da reta -x1+2x2=2, isto é,
x2<=x12+1
A restrição
2x1-x2<=3
é a região abaixo da reta 2x1-x2=3, ou seja,
x2>=2x1-3
Finalmente x2<=4 não é ativa porque, no quadrilátero gerado pelas outras desigualdades, o valor máximo de x2 é inferior a 4. Logo a região viável é um polígono convexo, limitada e não-vazia.

Passo 3

Como toda região limitada definida por retas no plano é um polígono convexo, seus vértices são as interseções das retas ativas e dos eixos. Encontramos os pontos:
(0,0),(1,5,0),l(tfrac83,tfrac73r),(0,1)

Passo 4

Avaliamos a função objetivo f(x1,x2)=-2x1+3x2 em cada vértice:
f(0,0)=0, f(1,5,0)=-3, fl(tfrac83,tfrac73r)=tfrac53, f(0,1)=3
O menor valor é -3 em (x1,x2)=(1,5,0).

Passo 5

Como a região viável é não-vazia e limitada, e existe um vértice que atinge o valor mínimo estrito, concluímos que o PPL é viável, limitado e tem solução ótima única.

Resposta

O PPL é viável e limitado, com solução ótima única em (x1,x2)=(1,5,0).

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