Determine os valores de:
arctanh(i)

Passo 1

O enunciado pede para calcular arctanh(i).
Aqui vamos usar a definição de arco-hiperbolica inversa no plano complexo e a fórmula que a expressa em termos de logaritmo complexo.

Passo 2

Recordamos que, para todo zneqpm1, vale
arctanh(z) =12,ln!l(1+z1-zr),
sendo ln o logaritmo natural no ramo principal do plano complexo.

Passo 3

Aplicando em z=i, temos
1+i1-i
Para simplificar, multiplicamos numerador e denominador pelo conjugado de 1-i:
1+i1-icdot1+i1+i =(1+i)^2(1-i)(1+i) =1+2i-11+1 =2i2 =i

Passo 4

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arctanh(i) =12,ln(i)
No ramo principal do logaritmo complexo temos ln(i)=ipi2. Portanto
arctanh(i) =12,l(ipi2r) =ipi4

Resposta

ipi4

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