(a) Usando o teste da razão verifique que a série sumn=1^+infty e^nn! converge.
(b) Usando o ítem (a) conclua que lim n +infty e^nn!=0.

Passo 1

O enunciado trata da série de termos positivos
sumn=1^infty e^nn!
e pede: (a) verificar sua convergência pelo teste da razão, e (b) deduzir que o termo geral e^nn! tende a zero. Para isso precisamos lembrar que, se
an>0,
o teste da razão diz que, se
L=limntoinftyan+1an<1,
então sum an converge.

Passo 2

Definimos
an = e^nn!
Vamos calcular a razão entre termos consecutivos:
an+1an = dfrace^,n+1(n+1)!dfrace^nn! = e^,n+1(n+1)!,,n!e^n = en+1

Passo 3

Agora tomamos o limite dessa razão quando ntoinfty:
L = limntoinftyan+1an = limntoinftyen+1 = 0

Passo 4

Como L=0<1, o teste da razão garante que
sumn=1^inftye^nn!
converge.

Passo 5

Um fato clássico é que, se sum an converge e an>=0, então necessariamente
limntoinftyan = 0
Aplicando isso aqui, concluímos que
limntoinfty e^nn! = 0

Resposta

(a) A série converge pelo teste da razão, pois
limntoinftyan+1an=0<1.
(b) Logo, limntoinftye^nn!=0.

Exercícios relacionados