(a) Usando o teste da razão verifique que a série
converge.
(b) Usando o ítem (a) conclua que
.
(b) Usando o ítem (a) conclua que
Passo 1
O enunciado trata da série de termos positivos
e pede: (a) verificar sua convergência pelo teste da razão, e (b) deduzir que o termo geral
tende a zero. Para isso precisamos lembrar que, se
o teste da razão diz que, se
então
converge.
Passo 2
Definimos
Vamos calcular a razão entre termos consecutivos:
Passo 3
Agora tomamos o limite dessa razão quando
:
Passo 4
Como
, o teste da razão garante que
converge.
Passo 5
Um fato clássico é que, se
converge e
, então necessariamente
Aplicando isso aqui, concluímos que
Resposta
(a) A série converge pelo teste da razão, pois
.
(b) Logo, .
(b) Logo,