Questão 1 (20 %): Considere a seguinte situação: uma panela de pressão parcialmente preenchida com água líquida é aquecida destampada até que a águe em seu interior entre em ebulição, e então a panela é tampada. Considere que, quando a panela é tampada, o conteúdo da panela seja exclusivamente composto por água, seja água líquida ( 99 \% da massa total de água) ou vapor de água ( 1 \% da massa total de água). A panela continua sendo aquecida, até que seu pino começa a se abrir ocasionalmente, provocando assim o barulho característico do cozimento em uma panela de pressão. Considere que o pino da panela de pressão pesa 68,81 gramas e que a área da sua abertura é igual a 5 \mathrm{~mm}^{2}. A pressão atmosférica local é igual a 90 kPa e a gravidade local é igual a 9,81 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}. Responda:
(a) Considere cada uma das três etapas desse aquecimento (panela destampada, panela tampada com pino fechado, e panela tampada com pino se abrindo). Qual é a forma mais adequada para modelar cada uma dessas etapas: Usar um volume de controle ou um sistema termodinâmico? Justifique.
(b) Qual é a temperatura da água no momento que a panela é fechada?
(c) Sabendo que essa é uma panela de 5 litros, qual é a massa de água contida na panela no momento que ela foi fechada?

Passo 1

O enunciado pede três coisas e dá vários dados. Vou listar explicitamente o que é pedido e quais informações temos:
  • Perguntas:
    (a) Para cada uma das três etapas do aquecimento — panela destampada, panela tampada com pino fechado, panela tampada com pino se abrindo — qual é a forma mais adequada de modelar: usar um volume de controle (sistema aberto) ou um sistema termodinâmico (sistema fechado)? Justifique.
    (b) Qual é a temperatura da água no momento em que a panela é fechada?
    (c) Sabendo que essa é uma panela de 5 litros, qual é a massa de água contida na panela no momento em que ela foi fechada?
  • Dados fornecidos (vou escrever de forma clara para usar depois):
    • Área da abertura do pino: A=5\\ \text{mm}^2.
    • Massa do pino: m_{\text{pino}}=68{,}81\\ \text{g}.
    • Pressão atmosférica local: P_{\text{atm}}=90\\ \text{kPa}=90\,000\\ \text{Pa}.
    • Gravidade local: g=9{,}81\\ \text{m/s}^2.
    • Quando a panela é tampada, o conteúdo é exclusivamente água: 99\% da massa é água líquida e 1\% da massa é vapor (ou seja, fração de massa líquida =0{,}99, fração de massa vapor =0{,}01).
    • Capacidade (volume) da panela: V_{\text{panela}}=5\\ \text{L}=0{,}005\\ \text{m}^3.
Observação: o enunciado não dá explicitamente a pressão dentro da panela no instante em que ela é tampada; como a panela estava destampada até ebulição e só foi tampada quando estava fervendo, a pressão interna no momento do fechamento é a pressão ambiente dada (ou seja, a água estava fervendo à pressão P_{\text{atm}}=90\\ \text{kPa}). Vou usar essa observação para responder (b) e (c).

Passo 2

Escolha entre sistema fechado (sistema termodinâmico) e volume de controle — explicação didática e aplicação às três etapas.
Primeiro, duas definições simples e intuitivas (sem jargões complicados):
  • Sistema termodinâmico (sistema fechado): é como “pegar uma porção fixa de massa” e seguir o destino dessa mesma porção ao longo do tempo. Nesse caso, não entra nem sai massa do sistema; pode entrar/ sair energia (calor, trabalho).
  • Volume de controle (sistema aberto): é uma região fixa no espaço através da qual massa pode entrar ou sair; é a abordagem certa quando partículas (vapor, água) passam para fora ou para dentro.
Agora aplicando isso, com justificativas concretas:
  • Etapa 1 — panela destampada (aquecimento aberto até ebulição): aqui, ao aquecer destampado, a água evapora e o vapor escapa para o ambiente. Ou seja, há troca de massa entre o interior da panela e o ambiente (perda de vapor). Quando há troca de massa é mais natural e conveniente usar um volume de controle. Justificativa: se eu quero analisar energia e massa dentro da panela enquanto o vapor sai, preciso permitir fluxos de massa na fronteira — então volume de controle.
  • Etapa 2 — panela tampada com pino fechado: quando tampada e com pino fechado não há troca de massa entre o interior e o exterior (assumindo que a tampa é estanque e o pino está fechado). A massa de água (líquida + vapor) é constante; somente ocorre transferência de energia (calor) através das paredes/tampa. Isso encaixa perfeitamente na ideia de sistema fechado (sistema termodinâmico): fixamos a massa dentro da panela e seguimos sua evolução térmica. Justificativa: bordas não deixam massa sair, então escolhemos sistema fechado.
  • Etapa 3 — panela tampada com pino se abrindo ocasionalmente: nessa etapa o pino abre e fecha, liberando pulsos de vapor para o ambiente — há, portanto, fluxo de massa (vapor) através da abertura. Para modelar esse comportamento, o mais adequado é um volume de controle que inclua a região interna com a pequena saída; assim podemos aplicar balanços com fluxo de massa saindo. Observação prática: muitas vezes modela-se o processo como um estado quasi-fechado entre pulsos e como um processo com fluxo nos instantes de abertura; mas, em essência, por haver troca de massa, o correto é volume de controle.
Dica prática para prova: se massa entra/ sai, use volume de controle; se a massa no problema é fixa, use sistema fechado. Isso é a forma mais segura de decidir rapidamente.

Passo 3

Determinar a temperatura da água no momento em que a panela foi fechada — raciocínio físico e escolha das hipóteses.
Raciocínio: a panela foi aquecida destampada até que a água entrasse em ebulição, e então foi tampada. Enquanto estava destampada a água estava fervendo à pressão ambiente. Então, no instante do fechamento, a água está na condição de saturação correspondente à pressão ambiente local P_{\text{atm}}=90\\ \text{kPa}. Portanto a temperatura procurada é a temperatura de saturação da água à pressão 90\\ \text{kPa}.
Para calcular essa temperatura vamos usar uma aproximação baseada na equação de Clausius–Clapeyron sob a hipótese de que o calor latente é aproximadamente constante e que o vapor pode ser tratado como gás perfeito. A forma prática que usaremos é:
\ln\!\left(\frac{P_2}{P_1}\right) = -\frac{L}{R_v}\!\left(\frac{1}{T_2}-\frac{1}{T_1}\right),
onde:
  • P_1 e T_1 são um ponto conhecido de saturação (usamos a referência ao nível do mar: P_1=101{,}325\\ \text{Pa} e T_1=373{,}15\\ \text{K}, que corresponde a 100^\circ\text{C});
  • P_2 e T_2 são a pressão e a temperatura de saturação que queremos (aqui P_2=90{,}000\\ \text{Pa} e T_2 desconhecida);
  • L é o calor latente de vaporização (aproximamos como constante): L\approx 2{,}257\times10^{6}\\ \text{J/kg};
  • R_v é a constante dos gases para vapor d’água: R_v=461{,}5\\ \text{J/(kg·K)}.
Explicando a fórmula: ela vem do Clausius–Clapeyron integrando \frac{dP}{dT}=\frac{L}{T(v_g-v_f)} e aproximando v_g\gg v_f e tratando v_g pela equação do gás ideal v_g\approx R_v T/P. É uma fórmula padrão para obter mudança de temperatura de ebulição quando a pressão muda, com hipóteses razoáveis para água perto de 100^\circ\text{C}.

Passo 4

Cálculo numérico da temperatura de saturação usando a equação do passo anterior (mostrando todas as contas).
Dados a usar na conta:
P_1=101\,325\\ \text{Pa},\quad T_1=373{,}15\\ \text{K}, \quad P_2=90\,000\\ \text{Pa},
L=2{,}257\times10^{6}\\ \text{J/kg},\quad R_v=461{,}5\\ \text{J/(kg·K)}.
A equação rearranjada para T_2 é
\frac{1}{T_2} = \frac{1}{T_1} - \frac{R_v}{L}\ln\!\left(\frac{P_2}{P_1}\right).
Agora calculamos passo a passo (vou mostrar os números aproximados com precisão adequada):
\ln\!\left(\frac{P_2}{P_1}\right)=\ln\!\left(\frac{90{,}000}{101{,}325}\right)=\ln(0{,}888585)\approx -0{,}1180.
\frac{R_v}{L}=\frac{461{,}5}{2{,}257\times10^{6}}\approx 0{,}0002045.
\frac{R_v}{L}\ln\!\left(\frac{P_2}{P_1}\right)\approx 0{,}0002045\times(-0{,}1180)\approx -2{,}414\times10^{-5}.
\frac{1}{T_1}=\frac{1}{373{,}15}\approx 0{,}0026789\\ \text{K}^{-1}.
\frac{1}{T_2}=0{,}0026789 - (-2{,}414\times10^{-5}) = 0{,}0027031\\ \text{K}^{-1}.
T_2=\frac{1}{0{,}0027031}\approx 369{,}91\\ \text{K}.
Convertendo para graus Celsius:
T_2 = 369{,}91\\ \text{K} - 273{,}15 = 96{,}76^\circ\text{C}.
Interpretação: portanto, no instante em que a panela foi fechada (estando fervendo à pressão local de 90\\ \text{kPa}), a temperatura de saturação da água é aproximadamente 96{,}8^\circ\text{C}. (Valor obtido por aproximação razoável; em tabelas de vapor a temperatura de saturação a 90\\ \text{kPa} é próxima desse valor.)

Passo 5

Calcular a massa total de água na panela de 5 L no instante do fechamento, usando as frações de massa e as propriedades de volume específicas das duas fases.
Raciocínio: o volume total disponível é V_{\text{panela}}=0{,}005\\ \text{m}^3. Esse volume é ocupado pela mistura de água líquida e vapor. Temos, por hipótese do enunciado, que 99\% da massa está em forma líquida e 1\% está em forma de vapor. Seja M a massa total de água (o que queremos). Então:
m_{\ell}=0{,}99\,M\quad\text{(massa líquida)},\qquad m_v=0{,}01\,M\quad\text{(massa vapor)}.í
O volume total é a soma dos volumes ocupados por cada fase:
V_{\text{panela}} = m_{\ell}\,v_f + m_v\,v_g = M\bigl(0{,}99\,v_f + 0{,}01\,v_g\bigr),
onde v_f é o volume específico do líquido saturado (m^3/kg) e v_g é o volume específico do vapor saturado (m^3/kg), ambos na temperatura de saturação T_2.
Estimativas das propriedades na temperatura T_2\approx 369{,}9\\ \text{K} (ou 96{,}8^\circ\text{C}):
  • Para o líquido saturado, o volume específico é aproximadamente v_f\approx 0{,}00103\\ \text{m}^3/\text{kg} (valor razoável próximo ao de 100^\circ\text{C}, onde v_f\approx0{,}001043\\ \text{m}^3/\text{kg}; a pequena diferença é desprezível para nossa precisão).
  • Para o vapor saturado, podemos usar a aproximação de gás ideal v_g\approx \dfrac{R_v T_2}{P_2}. Calculando:
v_g \approx \frac{461{,}5\cdot 369{,}91}{90{,}000}\\ \text{m}^3/\text{kg} \approx 1{,}8957\\ \text{m}^3/\text{kg}.
Agora substituímos na expressão de V_{\text{panela}}:
V_{\text{panela}} = M\bigl(0{,}99\times 0{,}00103 + 0{,}01\times 1{,}8957\bigr).
Calculemos o fator:
0{,}99\times 0{,}00103 = 0{,}0010197,
0{,}01\times 1{,}8957 = 0{,}018957,
0{,}99\,v_f + 0{,}01\,v_g = 0{,}0010197 + 0{,}018957 \approx 0{,}0199767\\ \text{m}^3/\text{kg}.
Logo:
M = \frac{V_{\text{panela}}}{0{,}99\,v_f + 0{,}01\,v_g} = \frac{0{,}005}{0{,}0199767}\\ \text{kg} \approx 0{,}2503\\ \text{kg}.
Interpretação física: apesar de 99\% da massa ser líquida, apenas 0{,}01 da massa sendo vapor implica um volume ocupado pelo vapor relativamente grande (porque o vapor tem volume específico enorme comparado ao líquido). Assim o conteúdo total de massa que preenche 5 L nessa configuração é cerca de 0{,}25\\ \text{kg} (ou 250\\ \text{g}) — dividido em aproximadamente 0{,}2478\\ \text{kg} de líquido e 0{,}0025\\ \text{kg} de vapor.
Observação de prova: se a panela estivesse praticamente cheia de líquido (ou seja, se o enunciado dissesse que o volume de líquido preenche a maior parte do volume), a massa seria muito maior (visto que o líquido é praticamente incompressível). Aqui a hipótese do enunciado foi sobre fração de massa, e não fração de volume; por isso o resultado é essa massa menor.

Passo 6

Resumo numérico final (valores arredondados de forma consistente e com unidades):
  • Temperatura de saturação (momento do fechamento):
T_{\text{fechamento}} \approx 96{,}8^\circ\text{C}.
  • Massa total de água na panela de 5 L (com 99\% da massa líquida e 1\% vapor), usando as aproximações indicadas:
M \approx 0{,}250\\ \text{kg}\quad(\text{aprox. }250\\ \text{g}).

Resposta

(a) Panela destampada: volume de controle (sistema aberto).
Panela tampada com pino fechado: sistema termodinâmico (sistema fechado).
Panela tampada com pino se abrindo: volume de controle (sistema aberto).
(b) 96{,}8^\circ\text{C}.
(c) 0{,}250\\ \text{kg}.

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