Para o sistema metano(1)/acetato de metila(2), as equações a seguir fornece uma correlação razoável para os coeficientes de atividades:
\operatorname{Ln}\left(\gamma_{1}\right)=A x_{2}{ }^{2} e \operatorname{Ln}\left(\gamma_{2}\right)=A x_{1}{ }^{2} onde: A=2,771-0,00523 T (sendo T em K )
Calcule:
P e \left(x_{1}\right), para T=318,15 \mathrm{~K} e y_{1}=0,60

Passo 1

O enunciado fornece as correlações para os coeficientes de atividade:
\operatorname{Ln}\left(\gamma_{1}\right)=A x_{2}^{2}\qquad\text{e}\qquad \operatorname{Ln}\left(\gamma_{2}\right)=A x_{1}^{2},
com
A=2{,}771-0{,}00523\,T\quad(\text{com }T\text{ em K}).
Foi dado T=318{,}15\\ \mathrm{K} e y_{1}=0{,}60. As incógnitas pedidas são a pressão total P e a fração molar na fase líquida x_{1}.
Informações relevantes listadas:
  • As equações que relacionam \gamma_{1} e \gamma_{2} com x_{1} e x_{2}=1-x_{1}.
  • A expressão de A que depende de T; com T dado podemos calcular A.
  • Foi dado y_{1} (logo y_{2}=1-y_{1}=0{,}40).
  • Para VLE, a relação de equilíbrio (Lei de Raoult modificada) que normalmente se usa é
y_{i}P=x_{i}\gamma_{i}P_{i}^{\text{sat}}(T),
mas os valores de P_{1}^{\text{sat}}(T) e P_{2}^{\text{sat}}(T) não foram fornecidos no enunciado.

Passo 2

Vou explicar detalhadamente o que seria necessário fazer para obter x_{1} e P e por que cada dado é essencial.
Primeiro, calculemos A em T=318{,}15\\ \mathrm{K}. Usando a fórmula dada:
A=2{,}771-0{,}00523\cdot 318{,}15.
Faço a multiplicação passo a passo:
0{,}00523\cdot 318{,}15 = 1{,}66392645,
portanto
A=2{,}771-1{,}66392645=1{,}10707355\approx 1{,}10707.
Com isso, as expressões dos coeficientes de atividade ficam (lembrando x_{2}=1-x_{1}):
\gamma_{1}=\exp\big(A(1-x_{1})^{2}\big), \qquad \gamma_{2}=\exp\big(A x_{1}^{2}\big).

Passo 3

Agora descrevo a equação de equilíbrio que relaciona tudo e que permitiria encontrar x_{1} numericamente.
Da Lei de Raoult corrigida:
y_{1}P=x_{1}\gamma_{1}P_{1}^{\text{sat}}(T), \qquad y_{2}P=x_{2}\gamma_{2}P_{2}^{\text{sat}}(T).
Dividindo a primeira equação pela segunda para eliminar P:
\frac{y_{1}}{y_{2}}=\frac{x_{1}\gamma_{1}P_{1}^{\text{sat}}}{x_{2}\gamma_{2}P_{2}^{\text{sat}}}.
Rearranjando:
\frac{y_{1}}{y_{2}}\cdot\frac{x_{2}}{x_{1}}\cdot\frac{\gamma_{2}}{\gamma_{1}}\cdot\frac{P_{2}^{\text{sat}}}{P_{1}^{\text{sat}}}=1.
Substituindo as \gamma em função de x_{1} e A:
\frac{y_{1}}{y_{2}}\cdot\frac{1-x_{1}}{x_{1}}\cdot \exp\big(Ax_{1}^{2}-A(1-x_{1})^{2}\big)\cdot\frac{P_{2}^{\text{sat}}}{P_{1}^{\text{sat}}}=1.
Essa é uma equação não linear em x_{1}. Se tivéssemos os valores de P_{1}^{\text{sat}}(T) e P_{2}^{\text{sat}}(T) conhecido, poderíamos resolver essa equação numericamente (por iteração, método de Newton, bissecção, etc.) para obter x_{1}. Em seguida, usando uma das equações de equilíbrio, calcularíamos P por
P=\frac{x_{1}\gamma_{1}P_{1}^{\text{sat}}}{y_{1}}.

Passo 4

Aqui explico explicitamente o dado que está faltando e por que é imprescindível.
Para avaliar numericamente a equação do Passo 3 precisamos de P_{1}^{\text{sat}}(318{,}15\\ \mathrm{K}) e P_{2}^{\text{sat}}(318{,}15\\ \mathrm{K}). Esses valores geralmente são fornecidos no enunciado (por exemplo, via tabela ou constantes de Antoine) ou devem ser conhecidos/consultados. Sem eles não há como determinar numericamente x_{1} e P, porque a razão \dfrac{P_{2}^{\text{sat}}}{P_{1}^{\text{sat}}} aparece multiplicando termos que dependem de x_{1} e controla o balanço entre as fases.
Portanto, com os dados atualmente fornecidos no enunciado (apenas as correlações de \gamma, T e y_{1}), não é possível obter valores numéricos para x_{1} e P.

Passo 5

Para que você saiba exatamente o procedimento a aplicar na prova caso lhe seja dado (ou você tenha) os P_{i}^{\text{sat}}, resumo o passo-a-passo que faria numericamente — assim você consegue aplicar rápido quando tiver os dados:
  1. Calcular A em T (já fizemos isso: A\approx 1{,}10707).
  2. Montar a função de x_{1}:
F(x_{1})=\frac{y_{1}}{y_{2}}\cdot\frac{1-x_{1}}{x_{1}}\cdot \exp\big(Ax_{1}^{2}-A(1-x_{1})^{2}\big)\cdot\frac{P_{2}^{\text{sat}}}{P_{1}^{\text{sat}}}-1.
  1. Resolver F(x_{1})=0 numericamente no intervalo 0<x_{1}<1 (método da bissecção ou Newton; bissecção é robusto e fácil de fazer à mão com poucas iterações).
  2. Calcular \gamma_{1}=\exp\big(A(1-x_{1})^{2}\big) e então P=\dfrac{x_{1}\gamma_{1}P_{1}^{\text{sat}}}{y_{1}}.
  3. Conferir com a segunda equação que o P obtido satisfaz y_{2}P=x_{2}\gamma_{2}P_{2}^{\text{sat}} (consistência numérica).
Se você me der os valores de P_{1}^{\text{sat}}(318{,}15\\ \mathrm{K}) e P_{2}^{\text{sat}}(318{,}15\\ \mathrm{K}) (ou as constantes de Antoine), eu aplico esse procedimento e calculo x_{1} e P passo a passo para você.

Resposta

Não é possível determinar numericamente P e x_{1} porque faltam os valores de P_{1}^{\text{sat}}(318{,}15\\ \mathrm{K}) e P_{2}^{\text{sat}}(318{,}15\\ \mathrm{K}), que são imprescindíveis para resolver o sistema de equilíbrio.

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