Para o sistema metano(1)/acetato de metila(2), as equações a seguir fornece uma correlação razoável para os coeficientes de atividades:
e
onde:
(sendo
em
)
Calcule:
P e
, para
e
P e
Passo 1
O enunciado fornece as correlações para os coeficientes de atividade:
com
Foi dado
e
. As incógnitas pedidas são a pressão total
e a fração molar na fase líquida
.
Informações relevantes listadas:
- As equações que relacionam
e com e . - A expressão de
que depende de ; com dado podemos calcular . - Foi dado
(logo ). - Para VLE, a relação de equilíbrio (Lei de Raoult modificada) que normalmente se usa é
mas os valores de
e
não foram fornecidos no enunciado.
Passo 2
Vou explicar detalhadamente o que seria necessário fazer para obter
e
e por que cada dado é essencial.
Primeiro, calculemos
em
. Usando a fórmula dada:
Faço a multiplicação passo a passo:
portanto
Com isso, as expressões dos coeficientes de atividade ficam (lembrando
):
Passo 3
Agora descrevo a equação de equilíbrio que relaciona tudo e que permitiria encontrar
numericamente.
Da Lei de Raoult corrigida:
Dividindo a primeira equação pela segunda para eliminar
:
Rearranjando:
Substituindo as
em função de
e
:
Essa é uma equação não linear em
. Se tivéssemos os valores de
e
conhecido, poderíamos resolver essa equação numericamente (por iteração, método de Newton, bissecção, etc.) para obter
. Em seguida, usando uma das equações de equilíbrio, calcularíamos
por
Passo 4
Aqui explico explicitamente o dado que está faltando e por que é imprescindível.
Para avaliar numericamente a equação do Passo 3 precisamos de
e
. Esses valores geralmente são fornecidos no enunciado (por exemplo, via tabela ou constantes de Antoine) ou devem ser conhecidos/consultados. Sem eles não há como determinar numericamente
e
, porque a razão
aparece multiplicando termos que dependem de
e controla o balanço entre as fases.
Portanto, com os dados atualmente fornecidos no enunciado (apenas as correlações de
,
e
), não é possível obter valores numéricos para
e
.
Passo 5
Para que você saiba exatamente o procedimento a aplicar na prova caso lhe seja dado (ou você tenha) os
, resumo o passo-a-passo que faria numericamente — assim você consegue aplicar rápido quando tiver os dados:
- Calcular
em (já fizemos isso: ). - Montar a função de
:
- Resolver
numericamente no intervalo (método da bissecção ou Newton; bissecção é robusto e fácil de fazer à mão com poucas iterações). - Calcular
e então . - Conferir com a segunda equação que o
obtido satisfaz (consistência numérica).
Se você me der os valores de
e
(ou as constantes de Antoine), eu aplico esse procedimento e calculo
e
passo a passo para você.
Resposta
Não é possível determinar numericamente
e
porque faltam os valores de
e
, que são imprescindíveis para resolver o sistema de equilíbrio.