Questão 4 (20 %) Um conjunto cilindro-pistão contém, inicialmente, 1 kg de água a 50^{\circ} \mathrm{C} e apresenta um volume de 0,2 m^{3}. O pistão é travado, e o sistema é aquecido até que toda a água líquida evapore. Determine a temperatura e a pressão do estado final desse processo. Qual o valor do trabalho nesse processo? Determine as outras propriedades do estado inicial.

Passo 1

O enunciado dá um cilindro-pistão contendo água e pede que a gente encontre o estado final depois de aquecer até que toda a água líquida evapore com o pistão travado. Vamos listar o que foi dado e o que é pedido.
  • Dados do enunciado:
    • Massa: m=1\\ \mathrm{kg}.
    • Temperatura inicial: T_1=50^\circ\mathrm{C}.
    • Volume total fixo: V=0{,}2\\ \mathrm{m^{3}}.
    • O pistão é travado (ou seja, o processo ocorre a volume constante).
    • Aquece-se até que toda a água líquida evapore (estado final: toda a massa está em vapor).
  • O que se pede:
    1. Determinar a temperatura e a pressão do estado final.
    2. Determinar o valor do trabalho desse processo.
    3. Determinar as outras propriedades do estado inicial (além de m, T_1 e V já dados): por exemplo pressão inicial, volume específico inicial, qualidade inicial e propriedades termodinâmicas (entalpia/ energia interna) do estado inicial.
Observações importantes que vamos usar depois (não resolver agora): como o pistão está travado, o volume total e portanto o volume específico permaneceu constante; para achar o estado final vamos exigir que, no instante em que toda a água vira vapor saturado, o volume específico do vapor saturado naquele T seja igual ao volume específico do sistema.

Passo 2

Calcular o volume específico do sistema (valor que NÃO muda porque V e m são constantes).
  • Definição: o volume específico v é o volume por unidade de massa:
v=\frac{V}{m}.
  • Substituindo os valores:
v=\frac{0{,}2\\ \mathrm{m^{3}}}{1\\ \mathrm{kg}}=0{,}2\\ \mathrm{m^{3}/kg}.
Explicação didática: em provas é comum primeiro transformar todas as grandezas extensivas em específicas (por kg), porque tabelas de vapor dão valores por massa. Aqui ficou simples: v=0{,}2\\ \mathrm{m^3/kg}.

Passo 3

Caracterizar o estado inicial: T_1=50^\circ\mathrm{C} e v_1=0{,}2\\ \mathrm{m^3/kg}. Agora vemos em que região do diagrama água-vapor isso cai (líquido comprimido, mistura saturada ou vapor superaquecido).
  • Procedimento: consultar a tabela de vapor saturado à temperatura 50^\circ\mathrm{C}. Da tabela de vapor saturado (valores padrão) obtemos os seguintes números em 50^\circ\mathrm{C}:
    • pressão de saturação: P_\mathrm{sat}(50^\circ\mathrm{C})\approx 12{,}35\\ \mathrm{kPa}.
    • volume específico do líquido saturado: v_f(50^\circ\mathrm{C})\approx 0{,}001012\\ \mathrm{m^{3}/kg}.
    • volume específico do vapor saturado: v_g(50^\circ\mathrm{C})\approx 12{,}03\\ \mathrm{m^{3}/kg}.
  • Observação explícita: peguei esses números em uma tabela padrão de vapor saturado (tabela de propriedades da água/ vapor à 50^\circ\mathrm{C}).
Comparação:
v_f(50^\circ\mathrm{C})\ll v_1=0{,}2\\ \mathrm{m^{3}/kg}\ll v_g(50^\circ\mathrm{C}).
Portanto o estado inicial é uma mistura saturada (parte líquido + parte vapor) à temperatura de saturação 50^\circ\mathrm{C} e pressão P_1=P_\mathrm{sat}(50^\circ\mathrm{C}).

Passo 4

Calcular a pressão inicial e a qualidade inicial (fração mássica de vapor) usando as propriedades saturadas em 50^\circ\mathrm{C}.
  • Pressão inicial: como o sistema está à temperatura de saturação e mistura, a pressão inicial é a pressão de saturação:
P_1=P_\mathrm{sat}(50^\circ\mathrm{C})\approx 12{,}35\\ \mathrm{kPa}.
  • Qualidade ( x): definição para mistura saturada:
x=\frac{v-v_f}{v_g-v_f}.
Substituindo v=0{,}2\\ \mathrm{m^{3}/kg}, v_f e v_g de 50^\circ\mathrm{C}:
x_1=\frac{0{,}2-0{,}001012}{12{,}03-0{,}001012} =\frac{0{,}198988}{12{,}028}\approx 0{,}0165.
Interpretação: x_1\approx 0{,}0165 significa que inicialmente apenas cerca de 1{,}65\% da massa está em vapor; o resto ( \approx98{,}35\%) é líquido.

Passo 5

Determinar propriedades termodinâmicas do estado inicial (entalpia específica h_1 e energia interna específica u_1), usando as tabelas à 50^\circ\mathrm{C}.
  • Na tabela de saturados a 50^\circ\mathrm{C} temos (valores de tabela padrão):
    • entalpia do líquido saturado: h_f(50^\circ\mathrm{C})\approx 209{,}33\\ \mathrm{kJ/kg}.
    • entalpia do vapor saturado: h_g(50^\circ\mathrm{C})=h_f+h_{fg}, com h_{fg}(50^\circ\mathrm{C})\approx 2584{,}7\\ \mathrm{kJ/kg}, logo h_g\approx 2794{,}0\\ \mathrm{kJ/kg}.
    • energia interna do líquido saturado u_f e do vapor saturado u_g também estão tabelados; em muitas tabelas u_f é quase igual a h_f menos pequeno termo P v (porque h=u+Pv). Para misturas com pressão baixa, Pv é pequeno (em kJ/kg) e pode ser desprezado com cuidado.
  • Cálculo da entalpia específica do estado inicial:
h_1 = h_f + x_1\,(h_g-h_f)=h_f + x_1\,h_{fg}.
Substituindo:
h_1 \approx 209{,}33 + 0{,}0165\times 2584{,}7 \approx 209{,}33 + 42{,}76 \approx 252{,}09\\ \mathrm{kJ/kg}.
  • Cálculo da energia interna específica do estado inicial (usando u=h-Pv; aqui P em kPa e v em m^3/kg, e dividindo por 1000 para transformar em kJ/kg):
u_1 = h_1 - \frac{P_1 v_1}{1000}.
Substituindo P_1=12{,}35\\ \mathrm{kPa}, v_1=0{,}2\\ \mathrm{m^3/kg}:
\frac{P_1 v_1}{1000}=\frac{12{,}35\times 0{,}2}{1000}=0{,}00247\\ \mathrm{kJ/kg},
que é negligenciável. Portanto
u_1\approx h_1-0{,}0025\approx 252{,}09\\ \mathrm{kJ/kg}\\ (\text{aprox.}).
Didática: em provas, é comum calcular h de uma mistura com h=h_f+x\,h_{fg}. Para u pode-se usar u=u_f+x(u_g-u_f) ou, quando P v é pequeno, aproximar u\approx h. Aqui P v é realmente muito pequeno (ordem 10^{-3}\\ \mathrm{kJ/kg}).

Passo 6

Entender o processo até o estado final: o aquecimento ocorre a volume específico constante v=0{,}2\\ \mathrm{m^{3}/kg} até que não reste líquido. O instante em que todo líquido desaparece ocorre quando a mistura alcança qualidade x=1 — isto é, quando v coincide com o volume específico do vapor saturado v_g(T) à nova temperatura de saturação.
  • Condição para o estado final (saturado vapor): existe uma temperatura T_2 tal que
v_g(T_2)=v=0{,}2\\ \mathrm{m^{3}/kg}.
  • Estratégia prática: procurar, na tabela de vapor saturado, a temperatura cuja linha de v_g 0{,}2\\ \mathrm{m^3/kg}. Se a tabela não tiver exatamente esse valor, faz-se interpolação entre duas temperaturas próximas.

Passo 7

Encontrar T_2 e P_2 (interpolação / aproximação com tabela).
  • Usando uma tabela padrão de vapor saturado (ou por aproximação com a equação de gás ideal para estimativa inicial), verifica-se que v_g decresce fortemente com T:
    • em 150^\circ\mathrm{C} temos v_g da ordem de 0{,}39\\ \mathrm{m^3/kg} (tabela).
    • em 200^\circ\mathrm{C} temos v_g da ordem de 0{,}14\\ \mathrm{m^3/kg} (tabela).
  • Nosso v=0{,}2\\ \mathrm{m^3/kg} está entre esses valores, logo T_2 está entre 150^\circ\mathrm{C} e 200^\circ\mathrm{C}.
Para localizar numericamente T_2 fazemos uma interpolação aproximada (linear entre os pontos de tabela próximos). Interpolando entre os valores tabulados citados (procedimento padrão em provas):
  • Interpolação (aproximação) leva a:
T_2\approx 189^\circ\mathrm{C}\quad\text{(aproximadamente)}.
  • Pressão de saturação correspondente P_2=P_\mathrm{sat}(T_2) pode ser obtida na tabela; usando a relação P_\mathrm{sat} de T_2 ou a aproximação do gás ideal P=R T/v para estimativa, obtemos um valor aproximadamente
P_2\approx 1{,}07\\ \mathrm{MPa}=1067\\ \mathrm{kPa}\quad\text{(aprox.)}.
Observação didática: o modo correto em prova é sempre consultar a tabela de vapor saturado e interpolar o valor exato de T cujo v_g se iguala a 0{,}2\\ \mathrm{m^3/kg}. A interpolação que mostrei é a estratégia; os números finais dependem ligeiramente da tabela utilizada. O método é: procurar na coluna v_g o par de temperaturas entre as quais v_g cruza 0{,}2, e interpolar linearmente em v_g versus T.

Passo 8

Calcular o trabalho do processo.
  • Fórmula do trabalho para um pistão (processo com fronteira móvel) é
W=\int_{1}^{2} P\,dV.
  • Aqui o pistão está travado, então V é constante; assim dV=0 e:
W=0.
Didática: processo a volume constante não realiza trabalho de pressão-volume, porque o pistão não se desloca. Em provas é um ponto clássico: se o pistão está travado, trabalho de fronteira é zero.

Passo 9

Resumo numérico e interpretação final (valores com indicação de que foram obtidos a partir de tabelas padrão de vapor saturado; arredondamentos apropriados).
  • Estado inicial ( T_1=50^\circ\mathrm{C}, v_1=0{,}2\\ \mathrm{m^3/kg}):
    • P_1=P_\mathrm{sat}(50^\circ\mathrm{C})\approx 12{,}35\\ \mathrm{kPa}.
    • qualidade x_1\approx 0{,}0165 (1,65% em massa em vapor).
    • entalpia específica h_1\approx 252{,}09\\ \mathrm{kJ/kg}.
    • energia interna específica u_1\approx 252{,}09\\ \mathrm{kJ/kg} (diferença por Pv é desprezível).
  • Estado final (toda a massa em vapor saturado com v=0{,}2\\ \mathrm{m^3/kg}):
    • temperatura saturação correspondente: T_2\approx 189^\circ\mathrm{C} (aprox., por interpolação de tabela).
    • pressão correspondente: P_2\approx 1{,}07\\ \mathrm{MPa} (aprox.).
  • Trabalho do processo: W=0.

Resposta

T_2\approx 189^\circ\mathrm{C}
P_2\approx 1{,}07\\ \mathrm{MPa}
W=0
P_1\approx 12{,}35\\ \mathrm{kPa}
v_1=0{,}2\\ \mathrm{m^{3}/kg}
x_1\approx 0{,}0165
h_1\approx 252{,}09\\ \mathrm{kJ/kg}
u_1\approx 252{,}09\\ \mathrm{kJ/kg}

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