Questão 3 (20%) - Um determinado fenômeno é descrito pela relação funcional como mostrado abaixo:
\pi_{1}=f\left(\pi_{2}, \pi_{3}, \pi_{4}\right)
Qual a importância da análise adimensional e de semelhança? Como os parâmetros adimensionais podem ser correlacionados para assegurar a semelhança? Caso haja semelhança, como podemos utilizar os parâmetros adimensionais para correlacionar dados de modelo e protótipo?

Passo 1

O enunciado mostra um fenômeno cujo comportamento pode ser escrito em forma adimensional como
\pi_{1} = f\bigl(\pi_{2}, \pi_{3}, \pi_{4}\bigr)
Aqui o conteúdo é análise adimensional e semelhança, baseados no Teorema de Buckingham. Para resolver, vamos ver por que usar variáveis adimensionais, como garantir semelhança entre modelo e protótipo e, a partir daí, como transferir resultados de um para o outro.

Passo 2

A importância da análise adimensional e de semelhança está em:
  • Reduzir o número de variáveis: em vez de tratar diretamente de todas as grandezas físicas (comprimento, velocidade, viscosidade etc.), agrupamos variáveis em números adimensionais ( \pi-números), diminuindo a complexidade experimental ou numérica.
  • Generalizar resultados: uma vez determinado f, ele vale para qualquer caso que tenha os mesmos \pi-números, independentemente das unidades ou da escala real.
  • Economia de protótipos: permite testar em escala reduzida (modelo) e extrapolar para o protótipo de escala real sem ter que construir uma infraestrutura enorme.

Passo 3

Para assegurar semelhança entre modelo e protótipo, devemos manter iguais todos os números adimensionais que governam o fenômeno. Em outras palavras, se chamarmos \pi_i^\text{mod} os números do modelo e \pi_i^\text{prot} os do protótipo, então
\pi_i^\text{mod} \;=\;\pi_i^\text{prot} \quad\text{para}\;i=1,2,3,4.
Isso garante simultaneamente:
  • Semelhança geométrica: razões de comprimento iguais.
  • Semelhança cinemática: razões de velocidade iguais.
  • Semelhança dinâmica: razões de forças (ou tensões) iguais.

Passo 4

Uma vez alcançada a semelhança ( \pi_i^\text{mod}=\pi_i^\text{prot}), a função f obtida experimentalmente ou numericamente no modelo vale para o protótipo. Na prática fazemos:
  1. Medimos \pi_2^\text{mod},\pi_3^\text{mod},\pi_4^\text{mod} no modelo e determinamos \pi_1^\text{mod}=f(\pi_2^\text{mod},\pi_3^\text{mod},\pi_4^\text{mod}).
  2. Como \pi_i^\text{prot}=\pi_i^\text{mod}, usamos esses mesmos valores de entrada na função f para calcular \pi_1^\text{prot}.
  3. Finalmente, devolvemos o valor adimensional \pi_1^\text{prot} para a escala real, reaplicando as grandezas características (velocidade, comprimento, tempo etc.) do protótipo.

Resposta

A análise adimensional e de semelhança permite reduzir variáveis e generalizar resultados entre escalas. Para garantir semelhança, exigimos igualdade dos números adimensionais ( \pi_i^\text{mod}=\pi_i^\text{prot}). Com isso, a correlação obtida no modelo via \pi_{1}=f(\pi_{2},\pi_{3},\pi_{4}) pode ser aplicada diretamente ao protótipo, convertendo depois \pi_{1} de volta à grandeza dimensional do sistema real.

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