Questão 1 (2,5 pontos)

Proponha uma solução de engenharia de produto. A área geométrica da xícara cilíndrica de cerâmica deve ser determinada para transferência de calor que possui no máximo 5 cm de diâmetro externo para que o tempo de resfriamento a temperatura ambiente de 30^{\circ} \mathrm{C}, seja de 40 minutos para o leite que está inicialmente a 70^{\circ} \mathrm{C}. Apresente seu projeto de produto e indique o nível de leite na xícara.
Dados:
Capacidade calorífica do leite: 4,10 \mathrm{~kJ} / \mathrm{k}{ }^{\circ} \mathrm{C}, massa específica de leite 1100 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}. Coeficiente de convecção do ar a 0,5 \mathrm{m} / \mathrm{s}: 50 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2}{ }^{\circ} \mathrm{C}. Pressão ambiente: 1 atm . Condutividade térmica da cerâmica: 26 \mathrm{~W} / \mathrm{m} \mathrm{K}

Passo 1

O enunciado pede projetar uma xícara cilíndrica de cerâmica de diâmetro externo máximo de \,5\text{ cm} de modo que o leite, inicialmente a 70^\circ\mathrm{C}, resfrie até quase a 30^\circ\mathrm{C} em 40 minutos ( 2400 s). Vamos usar o modelo de capacitância térmica (equação de Newton do resfriamento) e assumir que a resistência por condução na parede cerâmica é desprezível frente à convecção externa com coeficiente h=50\\ \mathrm{W/m^2K}. Precisaremos também da massa e capacidade térmica do leite e da área externa de trococonvecção.

Passo 2

No modelo de capacitância térmica temos
T(t)-T_\infty = (T_0-T_\infty)\exp\Bigl(-\frac{hA}{m\,c}\,t\Bigr),
onde T_0=70^\circ\mathrm{C}, T_\infty=30^\circ\mathrm{C}, t=2400 s, h=50\\ \mathrm{W/m^2K}, c=4100\\ \mathrm{J/(kg\,K)}, \rho=1100\\ \mathrm{kg/m^3}. Definimos o volume de leite \,V=\pi r^2 h_f e massa m=\rho V. A área de convecção é a soma da área lateral externa \pi D\,h_f mais a área do topo \pi (D/2)^2:
A = \pi D\,h_f + \pi\bigl(\tfrac D2\bigr)^2.

Passo 3

Para que o leite chegue muito próximo de T_\infty, por exemplo a 5\% da diferença inicial, impomos
\frac{T(t)-T_\infty}{T_0-T_\infty}=0{,}05 \quad\Longrightarrow\quad \exp\Bigl(-\tfrac{hA}{m\,c}t\Bigr)=0{,}05 \quad\Longrightarrow\quad \frac{hA}{m\,c} =\frac{-\ln(0{,}05)}{t}.
Chamando \tau = m\,c/(hA), temos \tau=-t/\ln(0{,}05)\approx 801 s.

Passo 4

Substituindo m=\rho\pi (D/2)^2h_f e A=\pi D\,h_f+\pi(D/2)^2 e D=0{,}05 m,
\tau =\frac{\rho\,\pi(0{,}025)^2\,h_f\,c}{50\bigl[\pi(0{,}05)\,h_f+\pi(0{,}025)^2\bigr]} =801.
Cancelando \pi e simplificando, obtemos a equação linear em h_f:
\frac{1100\cdot4100\cdot0{,}000625\,h_f}{50\bigl(0{,}05\,h_f+0{,}000625\bigr)} =801.
Resolvendo dá h_f\approx0{,}0307 m.

Passo 5

Com h_f=0{,}0307 m, o volume de leite é
V=\pi(0{,}025)^2\cdot0{,}0307\approx6{,}0\times10^{-5}\,\mathrm{m^3} \;\Longrightarrow\; 60\text{ mL},
e a área total de convecção A\approx0{,}0068\,\mathrm{m^2}.

Resposta

Xícara cilíndrica de cerâmica com diâmetro externo D=5\text{ cm} e altura livre ao menos h_{\rm total}>3{,}1\text{ cm}, sendo que o nível de leite deve ser de aproximadamente 3{,}07\text{ cm}. A área externa de convecção resultante é de cerca de 0{,}0068\,\mathrm{m^2}, garantindo o resfriamento em 40 minutos.

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