Questão 9. Faça um esboço do gráfico da função
Calcule
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede duas coisas:
- Fazer um esboço do gráfico de
. - Calcular
(a transformada de Laplace de ).
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
- A função usa
(uma janela retangular) e (uma função degrau deslocada). - Não há outras imagens ou dados; trabalha-se com a definição usual de janela e degrau.
Passo 2
Definições que vou usar (padrão usual, e estou pegando esses símbolos do enunciado):
onde
é a função degrau de Heaviside (ou seja,
para
e
para
).
Usando isso, escrevo como combinação de degraus:
Usando isso, escrevo
Agora determino o comportamento em cada intervalo (peça por peça):
- Para
: todas as são zero, logo . - Para
: só a primeira é , as demais são . Então - Para
: e , mas . Assim - Para
: agora mas . Então - Para
: , todas as janelas adicionais estão “ligadas”, logo
Observações de continuidade (úteis no esboço):
- Em
: salto de para . - Em
: salto de para . - Em
: salto de para (pois para , ). - Em
: salto de (valor à esquerda) para (valor à direita).
Esses são os dados que preciso para desenhar o esboço: gráficos constantes em
e
, segmento
em
, e curva parabólica
para
.
Passo 3
Breve orientação para o esboço (como desenhar na prova):
- Para
traçar a linha . - Em
traçar um salto vertical até ; em desenhar linha horizontal . - Em
marcar salto para ; em desenhar linha horizontal . - Em
saltar para o ponto e desenhar a reta até (ou seja, da altura até ). - Em
saltar para o ponto e, para , desenhar a parábola que cresce mais devagar que na vizinhança de . - Marcar círculos abertos ou fechados conforme a convenção que estiver usando nos extremos (o enunciado não especificou inclusão dos pontos; na prática a diferença em um ponto não altera a transformada).
Passo 4
Agora calculo
. Primeiro lembranças úteis (tudo padrão):
linearidade:
.
Transformadas básicas:
Transformadas básicas:
Teorema do deslocamento no tempo (usado com
): se
então
onde
(integrando
desde
até
). Em particular:
A partir disso obtenho também (decompondo
):
Passo 5
Transformo
termo a termo, usando que
.
- Para
:
- Para
:
- Para
uso a fórmula de :
logo
- Para
: escrevo . Aplicando o deslocamento,
Multiplicando por
e combinando:
Simplificando coeficientes:
Passo 6
Agora somo todas as contribuições (uso linearidade). Reagrupando termos exponenciais por deslocamento:
- Termos sem exponencial:
- Termo com
:
- Termos com
:
- Termos com
: são os provenientes de e do termo quadrático; somando
Agrupando e simplificando os coeficientes dentro do parêntese dá
Juntando tudo obtemos a expressão final:
Resposta
Esboço:
para
;
para
;
para
;
para
;
para
.