Questão 9. Faça um esboço do gráfico da função
f(t)=3 \Pi_{0,2}(t)+\Pi_{2,5}(t)+t \Pi_{5,8}(t)+\frac{t^{2}}{10} \mathcal{U}_{8}(t)
Calcule \mathcal{L}(f(t))(s)

Passo 1

O enunciado dá a função
f(t)=3\,\Pi_{0,2}(t)+\Pi_{2,5}(t)+t\,\Pi_{5,8}(t)+\frac{t^{2}}{10}\,\mathcal{U}_{8}(t)
e pede duas coisas:
  • Fazer um esboço do gráfico de f(t).
  • Calcular \mathcal{L}(f(t))(s) (a transformada de Laplace de f).
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • A função usa \Pi_{a,b}(t) (uma janela retangular) e \mathcal{U}_{8}(t) (uma função degrau deslocada).
  • Não há outras imagens ou dados; trabalha-se com a definição usual de janela e degrau.

Passo 2

Definições que vou usar (padrão usual, e estou pegando esses símbolos do enunciado):
\Pi_{a,b}(t)=\mathcal{U}(t-a)-\mathcal{U}(t-b), \qquad \mathcal{U}_{8}(t)=\mathcal{U}(t-8),
onde \mathcal{U}(t) é a função degrau de Heaviside (ou seja, \mathcal{U}(t)=0 para t<0 e \mathcal{U}(t)=1 para t\ge0).
Usando isso, escrevo f(t) como combinação de degraus:
f(t)=3\bigl(\mathcal{U}(t)-\mathcal{U}(t-2)\bigr) +\bigl(\mathcal{U}(t-2)-\mathcal{U}(t-5)\bigr) +t\bigl(\mathcal{U}(t-5)-\mathcal{U}(t-8)\bigr) +\frac{t^{2}}{10}\mathcal{U}(t-8).
Agora determino o comportamento em cada intervalo (peça por peça):
  • Para t<0: todas as \mathcal{U} são zero, logo f(t)=0.
  • Para 0\le t<2: só a primeira \mathcal{U}(t) é 1, as demais são 0. Então f(t)=3\quad\text{para }0\le t<2.
  • Para 2\le t<5: \mathcal{U}(t)=1 e \mathcal{U}(t-2)=1, mas \mathcal{U}(t-5)=0. Assim f(t)=3(1-1)+(1-0)=1\quad\text{para }2\le t<5.
  • Para 5\le t<8: agora \mathcal{U}(t-5)=1 mas \mathcal{U}(t-8)=0. Então f(t)=t\quad\text{para }5\le t<8.
  • Para t\ge8: \mathcal{U}(t-8)=1, todas as janelas adicionais estão “ligadas”, logo f(t)=\frac{t^{2}}{10}\quad\text{para }t\ge8.
Observações de continuidade (úteis no esboço):
  • Em t=0: salto de 0 para 3.
  • Em t=2: salto de 3 para 1.
  • Em t=5: salto de 1 para 5 (pois para t=5^+, f=5).
  • Em t=8: salto de 8 (valor à esquerda) para 64/10=6{,}4 (valor à direita).
Esses são os dados que preciso para desenhar o esboço: gráficos constantes em [0,2) e [2,5), segmento y=t em [5,8), e curva parabólica y=t^{2}/10 para t\ge8.

Passo 3

Breve orientação para o esboço (como desenhar na prova):
  • Para t<0 traçar a linha y=0.
  • Em t=0 traçar um salto vertical até y=3; em [0,2) desenhar linha horizontal y=3.
  • Em t=2 marcar salto para y=1; em [2,5) desenhar linha horizontal y=1.
  • Em t=5 saltar para o ponto (5,5) e desenhar a reta y=t até t=8 (ou seja, da altura 5 até 8).
  • Em t=8 saltar para o ponto (8,6{,}4) e, para t>8, desenhar a parábola y=t^{2}/10 que cresce mais devagar que y=t na vizinhança de 8.
  • Marcar círculos abertos ou fechados conforme a convenção que estiver usando nos extremos (o enunciado não especificou inclusão dos pontos; na prática a diferença em um ponto não altera a transformada).

Passo 4

Agora calculo \mathcal{L}\{f\}(s). Primeiro lembranças úteis (tudo padrão):
\mathcal{L}\{g\}(s)=\int_{0}^{\infty} g(t)e^{-st}\,dt,
linearidade: \mathcal{L}\{a g_1 + b g_2\}=a\mathcal{L}\{g_1\}+b\mathcal{L}\{g_2\}.
Transformadas básicas:
\mathcal{L}\{1\}(s)=\frac{1}{s},\qquad \mathcal{L}\{t\}(s)=\frac{1}{s^{2}},\qquad \mathcal{L}\{t^{2}\}(s)=\frac{2}{s^{3}}.
Teorema do deslocamento no tempo (usado com \mathcal{U}(t-a)): se h(t)=g(t-a)\mathcal{U}(t-a) então
\mathcal{L}\{h\}(s)=e^{-as}\,G(s),
onde G(s)=\mathcal{L}\{g\}(s) (integrando g desde 0 até \infty). Em particular:
\mathcal{L}\{(t-a)\mathcal{U}(t-a)\}(s)=e^{-as}\frac{1}{s^{2}}.
A partir disso obtenho também (decompondo t\mathcal{U}(t-a)=(t-a)\mathcal{U}(t-a)+a\mathcal{U}(t-a)):
\mathcal{L}\{t\mathcal{U}(t-a)\}(s)=e^{-as}\left(\frac{1}{s^{2}}+\frac{a}{s}\right).

Passo 5

Transformo f termo a termo, usando que \Pi_{a,b}(t)=\mathcal{U}(t-a)-\mathcal{U}(t-b).
  1. Para 3\Pi_{0,2}(t)=3(\mathcal{U}(t)-\mathcal{U}(t-2)):
\mathcal{L}\{3\Pi_{0,2}\}(s)=3\Bigl(\frac{1}{s}-\frac{e^{-2s}}{s}\Bigr).
  1. Para \Pi_{2,5}(t)=\mathcal{U}(t-2)-\mathcal{U}(t-5):
\mathcal{L}\{\Pi_{2,5}\}(s)=\frac{e^{-2s}}{s}-\frac{e^{-5s}}{s}.
  1. Para t\,\Pi_{5,8}(t)=t(\mathcal{U}(t-5)-\mathcal{U}(t-8)) uso a fórmula de t\mathcal{U}(t-a):
\mathcal{L}\{t\mathcal{U}(t-5)\}(s)=e^{-5s}\Bigl(\frac{1}{s^{2}}+\frac{5}{s}\Bigr),
\mathcal{L}\{t\mathcal{U}(t-8)\}(s)=e^{-8s}\Bigl(\frac{1}{s^{2}}+\frac{8}{s}\Bigr),
logo
\mathcal{L}\{t\Pi_{5,8}\}(s)=e^{-5s}\Bigl(\frac{1}{s^{2}}+\frac{5}{s}\Bigr)-e^{-8s}\Bigl(\frac{1}{s^{2}}+\frac{8}{s}\Bigr).
  1. Para \dfrac{t^{2}}{10}\mathcal{U}(t-8): escrevo t^{2}=\bigl((t-8)+8\bigr)^{2}=(t-8)^{2}+16(t-8)+64. Aplicando o deslocamento,
\mathcal{L}\{(t-8)^{2}\mathcal{U}(t-8)\}(s)=e^{-8s}\frac{2}{s^{3}}, \qquad \mathcal{L}\{(t-8)\mathcal{U}(t-8)\}(s)=e^{-8s}\frac{1}{s^{2}}, \qquad \mathcal{L}\{\mathcal{U}(t-8)\}(s)=e^{-8s}\frac{1}{s}.
Multiplicando por 1/10 e combinando:
\mathcal{L}\!\left\{\frac{t^{2}}{10}\mathcal{U}(t-8)\right\}(s) =\frac{e^{-8s}}{10}\Bigl(\frac{2}{s^{3}}+16\frac{1}{s^{2}}+64\frac{1}{s}\Bigr).
Simplificando coeficientes:
\mathcal{L}\!\left\{\frac{t^{2}}{10}\mathcal{U}(t-8)\right\}(s) =e^{-8s}\Bigl(\frac{1}{5s^{3}}+\frac{8}{5s^{2}}+\frac{32}{5s}\Bigr).

Passo 6

Agora somo todas as contribuições (uso linearidade). Reagrupando termos exponenciais por deslocamento:
  • Termos sem exponencial:
\frac{3}{s}.
  • Termo com e^{-2s}:
-\,\frac{3e^{-2s}}{s}+\frac{e^{-2s}}{s}=-\frac{2e^{-2s}}{s}.
  • Termos com e^{-5s}:
-\frac{e^{-5s}}{s} + e^{-5s}\Bigl(\frac{1}{s^{2}}+\frac{5}{s}\Bigr) = e^{-5s}\Bigl(\frac{1}{s^{2}}+\frac{4}{s}\Bigr).
  • Termos com e^{-8s}: são os provenientes de t\Pi_{5,8} e do termo quadrático; somando
-e^{-8s}\Bigl(\frac{1}{s^{2}}+\frac{8}{s}\Bigr) + e^{-8s}\Bigl(\frac{1}{5s^{3}}+\frac{8}{5s^{2}}+\frac{32}{5s}\Bigr).
Agrupando e simplificando os coeficientes dentro do parêntese dá
e^{-8s}\Bigl(\frac{1}{5s^{3}}+\frac{3}{5s^{2}}-\frac{8}{5s}\Bigr).
Juntando tudo obtemos a expressão final:
\mathcal{L}\{f\}(s)=\frac{3}{s}-\frac{2e^{-2s}}{s} +e^{-5s}\Bigl(\frac{1}{s^{2}}+\frac{4}{s}\Bigr) +e^{-8s}\Bigl(\frac{1}{5s^{3}}+\frac{3}{5s^{2}}-\frac{8}{5s}\Bigr).

Resposta

Esboço: f(t)=0 para t<0; f(t)=3 para 0\le t<2; f(t)=1 para 2\le t<5; f(t)=t para 5\le t<8; f(t)=\dfrac{t^{2}}{10} para t\ge8.
\mathcal{L}\{f\}(s)=\frac{3}{s}-\frac{2e^{-2s}}{s} +e^{-5s}\Bigl(\frac{1}{s^{2}}+\frac{4}{s}\Bigr) +e^{-8s}\Bigl(\frac{1}{5s^{3}}+\frac{3}{5s^{2}}-\frac{8}{5s}\Bigr).

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