Questão 20. Mostre que a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2 n-1}
é divergente.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2n-1}
é divergente. Informações dadas e o que precisamos provar:
  • A serie tem termos positivos: para todo n temos \dfrac{1}{2n-1}>0.
  • Precisamos mostrar que as somas parciais
S_N=\sum_{n=1}^{N}\frac{1}{2n-1}
não convergem para um número finito quando N\to\infty; em outras palavras, que S_N tende a +\infty (a série é divergente).

Passo 2

Estratégia global que vamos usar (aqui só explico o plano, sem calcular): comparar a série dada com outra série cuja divergência já conhecemos ou que é fácil provar que diverge. Uma comparação simples e eficaz é relacionar a série dos denominadores ímpares com a série harmônica
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n},
pois ambas têm termos do tipo inverso de inteiros. Vou primeiro provar que a série harmônica diverge, porque é um resultado clássico que usaremos a seguir.

Passo 3

Prova clássica (agrupamento) da divergência da série harmônica \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}.
Defina as somas parciais
H_N=\sum_{n=1}^{N}\frac{1}{n}.
Vamos agrupar os termos em blocos cujos tamanhos dobram a cada vez:
  • Primeiro bloco: \dfrac{1}{1}.
  • Segundo bloco: \dfrac{1}{2}.
  • Terceiro bloco: \dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{4}.
  • Quarto bloco: \dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{7}+\dfrac{1}{8}.
  • Em geral, o k-ésimo bloco (para k\ge 0) é a soma de 2^{k} termos, dos índices 2^{k}+1 até 2^{k+1}.
Agora observe que, dentro do bloco que vai de n=2^{k}+1 até n=2^{k+1}, cada termo satisfaz
\frac{1}{n}\ge \frac{1}{2^{k+1}},
porque n\le 2^{k+1}. Como há exatamente 2^{k} termos nesse bloco, a soma desse bloco é pelo menos
2^{k}\cdot\frac{1}{2^{k+1}}=\frac{1}{2}.
Logo, cada bloco a partir do terceiro (ou já a partir do segundo, conforme conte) contribui pelo menos com \dfrac{1}{2} para a soma parcial. Assim, ao formar m blocos assim, a soma parcial correspondente é pelo menos
1+\frac{1}{2}+\underbrace{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{2}}_{m-2\\ \text{vezes}} \ge 1 + \frac{m-1}{2}.
Como m pode ser arbitrariamente grande quando N\to\infty, isso mostra que H_N\to\infty. Portanto
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}\\ \text{é divergente.}é

Passo 4

Agora considere a sub-série formada pelos termos com índices pares:
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2n}.
Note que, para as somas parciais,
\sum_{n=1}^{N}\frac{1}{2n}=\frac{1}{2}\sum_{n=1}^{N}\frac{1}{n}.
Como \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n} diverge (do passo anterior), multiplicar por \dfrac{1}{2} não muda o fato de divergir: a série dos termos pares também diverge. Em símbolos,
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2n}=\frac{1}{2}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}=\infty.

Passo 5

Compare termo a termo a série dada com a série dos termos pares. Para cada n\ge 1 temos
\frac{1}{2n-1}\ge \frac{1}{2n},
porque 2n-1\le 2n e todos os denominadores são positivos. Somando essa desigualdade de n=1 até n=N obtemos, para as somas parciais,
\sum_{n=1}^{N}\frac{1}{2n-1}\ge \sum_{n=1}^{N}\frac{1}{2n}.

Passo 6

Agora aplicamos o teste de comparação simples: se (a_n) e (b_n) são sequências não-negativas com a_n\ge b_n para todo n, e se \sum b_n diverge, então \sum a_n também diverge, porque as somas parciais de \sum a_n são sempre maiores ou iguais às de \sum b_n, que tendem a +\infty.
No nosso caso, tomando a_n=\dfrac{1}{2n-1} e b_n=\dfrac{1}{2n}, já mostramos que \sum b_n diverge (Passo 4) e que a_n\ge b_n (Passo 5). Portanto a série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2n-1}
também diverge.

Resposta

\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2n-1} é divergente.

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