é divergente. Informações dadas e o que precisamos provar:
A serie tem termos positivos: para todo n temos \dfrac{1}{2n-1}>0.
Precisamos mostrar que as somas parciais
S_N=\sum_{n=1}^{N}\frac{1}{2n-1}
não convergem para um número finito quando N\to\infty; em outras palavras, que S_N tende a +\infty (a série é divergente).
Passo 2
Estratégia global que vamos usar (aqui só explico o plano, sem calcular): comparar a série dada com outra série cuja divergência já conhecemos ou que é fácil provar que diverge. Uma comparação simples e eficaz é relacionar a série dos denominadores ímpares com a série harmônica
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n},
pois ambas têm termos do tipo inverso de inteiros. Vou primeiro provar que a série harmônica diverge, porque é um resultado clássico que usaremos a seguir.
Passo 3
Prova clássica (agrupamento) da divergência da série harmônica \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}.
Defina as somas parciais
H_N=\sum_{n=1}^{N}\frac{1}{n}.
Vamos agrupar os termos em blocos cujos tamanhos dobram a cada vez:
Primeiro bloco: \dfrac{1}{1}.
Segundo bloco: \dfrac{1}{2}.
Terceiro bloco: \dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{4}.
Quarto bloco: \dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{7}+\dfrac{1}{8}.
Em geral, o k-ésimo bloco (para k\ge 0) é a soma de 2^{k} termos, dos índices 2^{k}+1 até 2^{k+1}.
Agora observe que, dentro do bloco que vai de n=2^{k}+1 até n=2^{k+1}, cada termo satisfaz
\frac{1}{n}\ge \frac{1}{2^{k+1}},
porque n\le 2^{k+1}. Como há exatamente 2^{k} termos nesse bloco, a soma desse bloco é pelo menos
2^{k}\cdot\frac{1}{2^{k+1}}=\frac{1}{2}.
Logo, cada bloco a partir do terceiro (ou já a partir do segundo, conforme conte) contribui pelo menos com \dfrac{1}{2} para a soma parcial. Assim, ao formar m blocos assim, a soma parcial correspondente é pelo menos
Como \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n} diverge (do passo anterior), multiplicar por \dfrac{1}{2} não muda o fato de divergir: a série dos termos pares também diverge. Em símbolos,
Agora aplicamos o teste de comparação simples: se (a_n) e (b_n) são sequências não-negativas com a_n\ge b_n para todo n, e se \sum b_n diverge, então \sum a_n também diverge, porque as somas parciais de \sum a_n são sempre maiores ou iguais às de \sum b_n, que tendem a +\infty.
No nosso caso, tomando a_n=\dfrac{1}{2n-1} e b_n=\dfrac{1}{2n}, já mostramos que \sum b_n diverge (Passo 4) e que a_n\ge b_n (Passo 5). Portanto a série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2n-1}
também diverge.
Resposta
\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2n-1} é divergente.