Questão 21. Considere a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\cos ^{2} n}{1+n^{2}}
Mostre que ela é convergente.

Passo 1

O enunciado dá a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\cos^{2} n}{1+n^{2}}
e pede que mostremos que ela é convergente. Informações relevantes que temos diretamente do enunciado:
\cos^{2} n aparece no numerador; os termos da série são do tipo \dfrac{\cos^{2} n}{1+n^{2}} para n=1,2,\dots. A pergunta é apenas: mostrar que a série é convergente.

Passo 2

Observação simples que será útil: para qualquer número real x vale
0 \le \cos^{2} x \le 1.
Vou usar isso substituindo x por n (inteiro). Portanto, para todo n\ge 1 temos
0 \le \cos^{2} n \le 1.
Isto significa que os termos da série são não-negativos:
0 \le \frac{\cos^{2} n}{1+n^{2}}.

Passo 3

Agora construo uma desigualdade conveniente para comparar com uma série conhecida. Usando 0\le\cos^{2} n\le 1 obtemos
0 \le \frac{\cos^{2} n}{1+n^{2}} \le \frac{1}{1+n^{2}}.
Além disso, para n\ge 1 o denominador 1+n^{2} é maior que n^{2}, logo
\frac{1}{1+n^{2}} \le \frac{1}{n^{2}}.
Compondo as duas desigualdades, para todo n\ge 1 temos a cadeia
0 \le \frac{\cos^{2} n}{1+n^{2}} \le \frac{1}{1+n^{2}} \le \frac{1}{n^{2}}.

Passo 4

Vou agora lembrar um fato padrão sobre séries que vou usar: a série p (ou série de p) \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n^{p}} converge se, e somente se, p>1. Em particular, para p=2 a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}}
converge. Uma maneira rápida de ver isso é usando o teste da integral: \displaystyle\int_{1}^{\infty}\frac{1}{x^{2}}\,dx = 1, finito, portanto a série \sum 1/n^{2} converge. (Não precisamos do valor exato da soma, só da convergência.)

Passo 5

Vou lembrar também o Teste da Comparação Direta (forma prática): se temos duas sequências de termos não-negativos (a_n) e (b_n) com 0\le a_n \le b_n para todo n suficientemente grande, e se \sum b_n converge, então \sum a_n também converge. A ideia intuitiva é: os somatórios parciais de a_n estão sempre abaixo dos de b_n, então os de a_n também ficam limitados.

Passo 6

Aplicando o Teste da Comparação Direta ao nosso caso: tomamos
a_n=\frac{\cos^{2} n}{1+n^{2}} \qquad\text{e}\qquad b_n=\frac{1}{n^{2}}.
Pelo que mostramos em \#Passo 3, para todo n\ge 1 vale 0\le a_n\le b_n. Como já sabemos em \#Passo 4 que \sum b_n=\sum 1/n^{2} converge, pelo teste da comparação concluímos que
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\cos^{2} n}{1+n^{2}}
converge.

Passo 7

Comentário final e dica de prova: os termos são não-negativos, então a comparação direta é imediata e suficiente. Em provas, quando aparecer uma função trigonométrica no numerador, vale sempre checar limites simples como \cos^{2} n\le 1 (ou |\sin n|\le 1) e comparar com séries p conhecidas. Isso costuma resolver muitas questões rápidas.

Resposta

A série \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\cos^{2} n}{1+n^{2}} é convergente.

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