Questão 21. Considere a série
Mostre que ela é convergente.
Passo 1
O enunciado dá a série
e pede que mostremos que ela é convergente. Informações relevantes que temos diretamente do enunciado:
aparece no numerador; os termos da série são do tipo
para
. A pergunta é apenas: mostrar que a série é convergente.
Passo 2
Observação simples que será útil: para qualquer número real
vale
Vou usar isso substituindo
por
(inteiro). Portanto, para todo
temos
Isto significa que os termos da série são não-negativos:
Passo 3
Agora construo uma desigualdade conveniente para comparar com uma série conhecida. Usando
obtemos
Além disso, para
o denominador
é maior que
, logo
Compondo as duas desigualdades, para todo
temos a cadeia
Passo 4
Vou agora lembrar um fato padrão sobre séries que vou usar: a série p (ou série de p)
converge se, e somente se,
. Em particular, para
a série
converge. Uma maneira rápida de ver isso é usando o teste da integral:
, finito, portanto a série
converge. (Não precisamos do valor exato da soma, só da convergência.)
Passo 5
Vou lembrar também o Teste da Comparação Direta (forma prática): se temos duas sequências de termos não-negativos
e
com
para todo
suficientemente grande, e se
converge, então
também converge. A ideia intuitiva é: os somatórios parciais de
estão sempre abaixo dos de
, então os de
também ficam limitados.
Passo 6
Aplicando o Teste da Comparação Direta ao nosso caso: tomamos
Pelo que mostramos em
Passo 3, para todo
vale
. Como já sabemos em
Passo 4 que
converge, pelo teste da comparação concluímos que
converge.
Passo 7
Comentário final e dica de prova: os termos são não-negativos, então a comparação direta é imediata e suficiente. Em provas, quando aparecer uma função trigonométrica no numerador, vale sempre checar limites simples como
(ou
) e comparar com séries p conhecidas. Isso costuma resolver muitas questões rápidas.
Resposta
A série
é convergente.