EPIDEMIAS. Um único indivíduo infectado entra em uma comunidade de 500 indivíduos suscetíveis à doença, a qual se dissemina a uma taxa proporcional ao produto do número total de infectados pelo número de indivíduos suscetíveis ainda não infectados. Um modelo para o tempo que a doença leva para se disseminar entre x indivíduos pode ser dado por
t=5010 \int \frac{1}{(x+1)(500-x)} d x
no qual t é o tempo de contato em horas. Determine:
(a) A expressão do tempo em função de x, resolvendo a integral.
t=
(b) O tempo que leva para 75% da população ser infectada.
t=
(c) O número de pessoas infectadas após 100 horas.
\square
(a) A expressão do tempo em função de x, resolvendo a integral.
(b) O tempo que leva para 75% da população ser infectada.
(c) O número de pessoas infectadas após 100 horas. t=\square
x=\square

Passo 1

O enunciado dá a seguinte relação entre tempo de contato t (em horas) e a variável x:
t = 5010 \int \frac{1}{(x+1)(500-x)}\,dx.
Informações importantes que extraí do enunciado:
  • A comunidade tem 500 indivíduos suscetíveis inicialmente.
  • Um único indivíduo infectado entra na comunidade. Por isso é natural tomar x=0 quando t=0: x conta quantos indivíduos adicionais (além do primeiro) já foram infectados. Assim o total de infectados é x+1.
  • O número máximo de novos infectados é 500 (quando todos os suscetíveis já foram infectados); então 0\le x\le 500.
O que é pedido:
(a) resolver a integral e obter t em função de x (expressão geral, e aplicar a condição inicial t=0 em x=0);
(b) determinar o tempo para 75\% da população ser infectada;
(c) determinar o número de pessoas infectadas depois de 100 horas.

Passo 2

Vamos calcular a integral passo a passo. A técnica apropriada é decompor em frações parciais porque o integrando é uma função racional cujo denominador é produto de fatores lineares.
Queremos escrever
\frac{1}{(x+1)(500-x)}=\frac{A}{x+1}+\frac{B}{500-x}.
Multiplicando os dois lados por (x+1)(500-x) obtemos a identidade
1 = A(500-x) + B(x+1).
Agora determinamos A e B. Uma forma rápida é escolher valores de x que anulem termos:
  • Se x=-1, então 1 = A(500-(-1)) + B\cdot 0, logo 1 = A\cdot 501 \quad\Rightarrow\quad A=\frac{1}{501}.
  • Se x=500, então 1 = A\cdot 0 + B(500+1), logo 1 = B\cdot 501 \quad\Rightarrow\quad B=\frac{1}{501}.
Portanto
\frac{1}{(x+1)(500-x)}=\frac{1}{501}\left(\frac{1}{x+1}+\frac{1}{500-x}\right).

Passo 3

Agora integramos. Lembre que
  • \displaystyle \int \frac{1}{x+1}\,dx=\ln|x+1|,
  • \displaystyle \int \frac{1}{500-x}\,dx=-\ln|500-x| (porque derivada de 500-x é -1).
Assim
\int \frac{1}{(x+1)(500-x)}\,dx = \frac{1}{501}\Big(\ln|x+1| - \ln|500-x|\Big) = \frac{1}{501}\ln\!\left(\frac{x+1}{500-x}\right).
Multiplicando pelo fator externo 5010 obtemos a antiderivada para t:
t = 5010\cdot\frac{1}{501}\ln\!\left(\frac{x+1}{500-x}\right)+C =10\ln\!\left(\frac{x+1}{500-x}\right)+C,
onde C é a constante de integração.

Passo 4

Aplicamos a condição inicial: quando t=0 ainda não houve novos infectados além do primeiro, isto é x=0. Substituindo:
0 = 10\ln\!\left(\frac{0+1}{500-0}\right)+C =10\ln\!\left(\frac{1}{500}\right)+C.
Logo
C = -10\ln\!\left(\frac{1}{500}\right)=10\ln(500).
Substituindo C na expressão de t obtemos a forma final:
t = 10\ln\!\left(\frac{x+1}{500-x}\right) + 10\ln(500) =10\ln\!\left(\frac{500(x+1)}{500-x}\right).
Esse é o resultado pedido no item (a).
Também é útil inverter essa expressão para obter x em função de t. Dividindo por 10 e exponenciando:
\frac{t}{10}=\ln\!\left(\frac{500(x+1)}{500-x}\right) \quad\Rightarrow\quad e^{t/10}=\frac{500(x+1)}{500-x}.
Resolvendo para x:
e^{t/10}(500-x)=500(x+1)
500e^{t/10}-x e^{t/10}=500x+500
500e^{t/10}-500=x(500+e^{t/10})
x=\frac{500\big(e^{t/10}-1\big)}{500+e^{t/10}}.
O total de infectados (incluindo o primeiro) é x+1. Reescrevendo x+1 fica mais elegante:
x+1=\frac{501\,e^{t/10}}{500+e^{t/10}}.

Passo 5

Item (b): tempo para 75\% da população ser infectada.
Aqui a população total é 501 indivíduos (os 500 suscetíveis mais o primeiro infectado que entrou). 75\% de 501 é
0,75\times 501 = 375,75.
Tomamos x+1=375,75 (é um valor contínuo no modelo; o tempo correspondente diz quando a fração atinge 75\%). Assim x=374,75. Use a fórmula encontrada:
t = 10\ln\!\left(\frac{500(x+1)}{500-x}\right).
Substituindo x+1=375,75 e 500-x=500-374,75=125,25:
\frac{500(x+1)}{500-x}=\frac{500\cdot 375,75}{125,25}.
Observe que 500\cdot 375,75 = 187875 e 125,25\cdot 1500 = 187875, portanto a razão vale 1500. Logo
t = 10\ln(1500).
Para dar uma aproximação numérica, use \ln(1500)\approx 7,31322, daí
t\approx 10\times 7,31322 = 73,1322\\ \text{horas}.

Passo 6

Item (c): número de pessoas infectadas após 100 horas.
Usamos a fórmula para o total de infectados x+1:
x+1=\frac{501\,e^{t/10}}{500+e^{t/10}}.
Com t=100 temos e^{t/10}=e^{10}. Uma forma numérica estável é escrever
x+1=\frac{501}{1+500e^{-t/10}},
pois e^{-10} é pequeno e reduz erros numéricos. Calculando:
e^{-10}\approx 4,539992976\times 10^{-5},
500e^{-10}\approx 0,02269996488,
1+500e^{-10}\approx 1,02269996488,
x+1 \approx \frac{501}{1,02269996488}\approx 489,88\\ \text{pessoas}.
Arredondando ao número inteiro mais próximo, depois de 100 horas cerca de 490 pessoas estarão infectadas (no modelo contínuo o valor é \approx 489,88).

Resposta

(a) t=10\ln\!\left(\dfrac{500(x+1)}{500-x}\right)\n
(b) t=10\ln(1500)\approx 73,13\\ \text{horas}\n
(c) número de infectados após 100 horas \approx 489,88 (aproximadamente 490 pessoas)

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