EPIDEMIAS. Um único indivíduo infectado entra em uma comunidade de 500 indivíduos suscetíveis à doença, a qual se dissemina a uma taxa proporcional ao produto do número total de infectados pelo número de indivíduos suscetíveis ainda não infectados. Um modelo para o tempo que a doença leva para se disseminar entre
indivíduos pode ser dado por
no qual
é o tempo de contato em horas. Determine:
(a) A expressão do tempo em função de
, resolvendo a integral.
(b) O tempo que leva para 75% da população ser infectada.
(c) O número de pessoas infectadas após 100 horas.
(a) A expressão do tempo em função de
, resolvendo a integral.
(b) O tempo que leva para 75% da população ser infectada.
(c) O número de pessoas infectadas após 100 horas.
(a) A expressão do tempo em função de
| (a) A expressão do tempo em função de
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| (b) O tempo que leva para 75% da população ser infectada. | |
| (c) O número de pessoas infectadas após 100 horas. |
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Passo 1
O enunciado dá a seguinte relação entre tempo de contato
(em horas) e a variável
:
Informações importantes que extraí do enunciado:
- A comunidade tem
indivíduos suscetíveis inicialmente. - Um único indivíduo infectado entra na comunidade. Por isso é natural tomar
quando : conta quantos indivíduos adicionais (além do primeiro) já foram infectados. Assim o total de infectados é . - O número máximo de novos infectados é
(quando todos os suscetíveis já foram infectados); então .
O que é pedido:
(a) resolver a integral e obter em função de
(expressão geral, e aplicar a condição inicial
em
);
(b) determinar o tempo para da população ser infectada;
(c) determinar o número de pessoas infectadas depois de horas.
(a) resolver a integral e obter
(b) determinar o tempo para
(c) determinar o número de pessoas infectadas depois de
Passo 2
Vamos calcular a integral passo a passo. A técnica apropriada é decompor em frações parciais porque o integrando é uma função racional cujo denominador é produto de fatores lineares.
Queremos escrever
Multiplicando os dois lados por
obtemos a identidade
Agora determinamos
e
. Uma forma rápida é escolher valores de
que anulem termos:
- Se
, então , logo - Se
, então , logo
Portanto
Passo 3
Agora integramos. Lembre que
-
, -
(porque derivada de é ).
Assim
Multiplicando pelo fator externo
obtemos a antiderivada para
:
onde
é a constante de integração.
Passo 4
Aplicamos a condição inicial: quando
ainda não houve novos infectados além do primeiro, isto é
. Substituindo:
Logo
Substituindo
na expressão de
obtemos a forma final:
Esse é o resultado pedido no item (a).
Também é útil inverter essa expressão para obter
em função de
. Dividindo por
e exponenciando:
Resolvendo para
:
O total de infectados (incluindo o primeiro) é
. Reescrevendo
fica mais elegante:
Passo 5
Item (b): tempo para
da população ser infectada.
Aqui a população total é
indivíduos (os
suscetíveis mais o primeiro infectado que entrou).
de
é
Tomamos
(é um valor contínuo no modelo; o tempo correspondente diz quando a fração atinge
). Assim
. Use a fórmula encontrada:
Substituindo
e
:
Observe que
e
, portanto a razão vale
. Logo
Para dar uma aproximação numérica, use
, daí
Passo 6
Item (c): número de pessoas infectadas após
horas.
Usamos a fórmula para o total de infectados
:
Com
temos
. Uma forma numérica estável é escrever
pois
é pequeno e reduz erros numéricos. Calculando:
Arredondando ao número inteiro mais próximo, depois de
horas cerca de
pessoas estarão infectadas (no modelo contínuo o valor é
).
Resposta
(a)
\n
(b) \n
(c) número de infectados após horas
(aproximadamente
pessoas)
(b)
(c) número de infectados após