Questão 3: (20 pontos) Considere as bases e de , relacionadas da seguinte forma:
(a) (10 pontos) Determine as matrizes de mudança de base [I]gamma^beta e [I]beta^gamma.
(b) (10 pontos) Sabendo que
[u]beta=[c 1 3 -2 ]
determine as coordenadas do vetor u em relação à base gamma.
Passo 1
O enunciado nos dá duas bases de R^3,
beta=u1,u2,u3, gamma=w1,w2,w3,
com relações
w1 = u1 - 2u3, w2 = u1 - u3, w3 = -u1 + 3u2
Em (a) queremos a matriz de mudança de coordenadas de gamma para beta, que chamaremos de [I]gamma^beta, e sua inversa [I]beta^gamma. Em (b) usamos [I]beta^gamma para converter [u]beta em [u]gamma.
Passo 2
Para montar [I]gamma^beta, escrevemos cada wj em coordenadas de beta. Temos
w1 = 1cdot u1 + 0cdot u2 + (-2),u3, w2 = 1cdot u1 + 0cdot u2 + (-1),u3, w3 = (-1),u1 + 3cdot u2 + 0cdot u3
Logo, as colunas de [I]gamma^beta são esses vetores: