Questão 3: (20 pontos) Considere as bases beta=u1, u2, u3 e gamma=w1, w2, w3 de R^3, relacionadas da seguinte forma:
l w1=u1 -2 u3 w2=u1 -u3 w3=-u1+3 u2
(a) (10 pontos) Determine as matrizes de mudança de base [I]gamma^beta e [I]beta^gamma.
(b) (10 pontos) Sabendo que
[u]beta=[c 1 3 -2 ]
determine as coordenadas do vetor u em relação à base gamma.

Passo 1

O enunciado nos dá duas bases de R^3,
beta=u1,u2,u3, gamma=w1,w2,w3,
com relações
w1 = u1 - 2u3, w2 = u1 - u3, w3 = -u1 + 3u2
Em (a) queremos a matriz de mudança de coordenadas de gamma para beta, que chamaremos de [I]gamma^beta, e sua inversa [I]beta^gamma. Em (b) usamos [I]beta^gamma para converter [u]beta em [u]gamma.

Passo 2

Para montar [I]gamma^beta, escrevemos cada wj em coordenadas de beta. Temos
w1 = 1cdot u1 + 0cdot u2 + (-2),u3, w2 = 1cdot u1 + 0cdot u2 + (-1),u3, w3 = (-1),u1 + 3cdot u2 + 0cdot u3
Logo, as colunas de [I]gamma^beta são esses vetores:
[I]gamma^beta = 1 & 1 & -1 [6pt] 0 & 0 & 3 [6pt] -2 & -1 & 0 ]

Passo 3

Para obter [I]beta^gamma basta inverter
P = [I]gamma^beta = 1 & 1 & -1 [3pt] 0 & 0 & 3 [3pt] -2 & -1 & 0
Calcula-se det P = -3 e o adjugado
adj(P) = 3 & 1 & 3 [3pt] -6 & -2 & -3 [3pt] 0 & -1 & 0 ,
de onde
[I]beta^gamma = P^-1 = 1det P,adj(P) = -tfrac13 3 & 1 & 3 [3pt] -6 & -2 & -3 [3pt] 0 & -1 & 0 = -1 & -tfrac13 & -1 [4pt] 2 & tfrac23 & 1 [4pt] 0 & tfrac13 & 0 ]

Passo 4

Em (b) nos dão
[u]beta = 1 [3pt] 3 [3pt] -2
Calculamos
[u]gamma = [I]beta^gamma,[u]beta = -1 & -tfrac13 & -1 [4pt] 2 & tfrac23 & 1 [4pt] 0 & tfrac13 & 0 1 [3pt] 3 [3pt] -2 = -1 -1 +2 [3pt] 2 +2 -2 [3pt] 0 +1 +0 = 0 [3pt] 2 [3pt] 1 ]

Resposta

(a)
[I]gamma^beta = 1 & 1 & -1 [3pt] 0 & 0 & 3 [3pt] -2 & -1 & 0 , [I]beta^gamma = -1 & -tfrac13 & -1 [4pt] 2 & tfrac23 & 1 [4pt] 0 & tfrac13 & 0
(b)
[u]gamma = 0 [3pt] 2 [3pt] 1 ]

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