Verifique quais dos subconjuntos
abaixo são subespaços vetoriais reais (considere as operações usuais). Para aqueles que forem, determine sua dimensão. Para aqueles que não forem, justifique ou dê contra-exemplo.
;
Passo 1
O enunciado define
,
ou seja, o conjunto de todas as matrizes reais que são iguais à sua transposta. Queremos verificar se
é subespaço vetorial de
(com as operações usuais) e, se for, determinar
.
ou seja, o conjunto de todas as matrizes reais
Passo 2
Para mostrar que
é subespaço vetorial, precisamos verificar três propriedades:
- O vetor zero está em
.
A matriz zerosatisfaz , logo . - Fechamento em somas: se
, então logo . - Fechamento em produto por escalar: para
e , logo .
Como as três condições estão satisfeitas,
é subespaço de
.
Passo 3
Para achar
, note que uma matriz simétrica
satisfaz
. Isso significa que os
elementos da diagonal
são livres e, acima da diagonal
, temos mais
entradas livres, pois cada
determina
. Assim