Verifique quais dos subconjuntos W abaixo são subespaços vetoriais reais (considere as operações usuais). Para aqueles que forem, determine sua dimensão. Para aqueles que não forem, justifique ou dê contra-exemplo.
W=A in M120 times 120(R) ; A=A^T;

Passo 1

O enunciado define
W = A in M120times120(R) mid A = A^T,
ou seja, o conjunto de todas as matrizes reais 120times120 que são iguais à sua transposta. Queremos verificar se W é subespaço vetorial de M120times120(R) (com as operações usuais) e, se for, determinar dim(W).

Passo 2

Para mostrar que W é subespaço vetorial, precisamos verificar três propriedades:
  1. O vetor zero está em W.
    A matriz zero 0 satisfaz 0^T = 0, logo 0in W.
  2. Fechamento em somas: se A,Bin W, então A^T = A e B^T = B Longrightarrow (A + B)^T = A^T + B^T = A + B, logo A+Bin W.
  3. Fechamento em produto por escalar: para lambdainR e Ain W, (,lambda A,)^T = lambda,A^T = lambda A, logo lambda Ain W.
Como as três condições estão satisfeitas, W é subespaço de M120times120(R).

Passo 3

Para achar dim(W), note que uma matriz simétrica A = (aij) satisfaz aij=aji. Isso significa que os 120 elementos da diagonal (i=j) são livres e, acima da diagonal (i<j), temos mais tfrac120cdot1192 entradas livres, pois cada aij determina aji. Assim
dim(W) = 120 ;+;120cdot1192 = 120,(120+1)2 = 7260

Resposta

W é subespaço vetorial de M120times120(R) e dim(W)=7260.

Exercícios relacionados