Questão 1 [20 pontos] Considere a função f(x, y)=2+raizy-x^2-1.
Determine o domínio de f e represente-o no plano x y.

Passo 1

Estamos lidando com a função de duas variáveis f(x,y)=2+raizy - x^2 - 1. O conteúdo é determinação de domínio de funções de várias variáveis e vamos usar a propriedade de que a raiz quadrada exige que o radicando seja não negativo.

Passo 2

Para que raizy - x^2 - 1 seja real e a função esteja definida, precisamos ter
y - x^2 - 1 >= 0
Essa é a condição fundamental para o domínio.

Passo 3

Reescrevendo a desigualdade, obtemos
y >= x^2 + 1
Isto significa que todos os pontos (x,y) devem satisfazer que a ordenada y está acima (ou sobre) da parábola y = x^2 + 1.

Passo 4

No plano xy, a curva de fronteira é a parábola de equação y = x^2 + 1 com vértice em (0,1). O domínio corresponde à região fechada acima dessa parábola, incluindo a própria curva.

Resposta

O domínio é
d = { (x,y) ∈ ℝ^2 | y ≥ x^2 + 1 }, ou seja, a região fechada no plano xy acima da parábola y = x^2 + 1.

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