(Vale 2,0 ) Use a sequência de somas parciais para determinar se a série
converge ou diverge.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente usar a sequência de somas parciais para descobrir se a série
converge ou diverge. Isso está relacionado ao estudo de séries, mais precisamente séries telescópicas, que podem simplificar bastante a resolução.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma série telescópica. É uma série onde muitos termos se cancelam quando a gente expande a soma. Isso facilita encontrar a soma das parcelas até um certo ponto e analisar o comportamento quando esse ponto tende ao infinito.
Passo 3
Vamos escrever a soma parcial
da série até o termo
:
Passo 4
Agora, expandindo os primeiros termos para ver o padrão de cancelamento:
Passo 5
Observamos que vários termos se cancelam:
Passo 6
Simplificando a soma parcial:
Passo 7
Agora, analisamos o limite de
quando
tende ao infinito:
Passo 8
Calculando o limite da fração:
Passo 9
Portanto, o limite da soma parcial é:
Resposta
A série
converge e seu valor é
.