(Vale 2,0 ) Use a sequência de somas parciais para determinar se a série sumn=1^infty(1n+2-1n) converge ou diverge.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente usar a sequência de somas parciais para descobrir se a série sumn=1^infty(1n+2-1n) converge ou diverge. Isso está relacionado ao estudo de séries, mais precisamente séries telescópicas, que podem simplificar bastante a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma série telescópica. É uma série onde muitos termos se cancelam quando a gente expande a soma. Isso facilita encontrar a soma das parcelas até um certo ponto e analisar o comportamento quando esse ponto tende ao infinito.

Passo 3

Vamos escrever a soma parcial SN da série até o termo N:
SN = sumn=1^N(1n+2 - 1n)

Passo 4

Agora, expandindo os primeiros termos para ver o padrão de cancelamento:
SN = (13 - 11) + (14 - 12) + (15 - 13) + dots + (1N+2 - 1N)

Passo 5

Observamos que vários termos se cancelam:
SN = -11 - 12 + 1N+1 + 1N+2

Passo 6

Simplificando a soma parcial:
SN = -(1 + 12) + (1N+1 + 1N+2)
SN = -32 + 2N+3(N+1)(N+2)

Passo 7

Agora, analisamos o limite de SN quando N tende ao infinito:
limN to infty SN = -32 + limN to infty 2N+3(N+1)(N+2)

Passo 8

Calculando o limite da fração:
limN to infty 2N+3(N+1)(N+2) = limN to infty 2NN^2 = limN to infty 2N = 0

Passo 9

Portanto, o limite da soma parcial é:
limN to infty SN = -32 + 0 = -32

Resposta

A série sumn=1^infty(1n+2-1n) converge e seu valor é -32.

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