3^a Questão: (20 pontos) Considere a sequinte E.D.O. seguinte:
(2 x+y^3) d x+(3 x y^2+3 x^2+3 x y^3) d y=0
(a) Verifique que a equação não é EXATA e encontre um FATOR integrante adequado.
(b) Resolva a equação diferencial dada.

Passo 1

O enunciado dá a E.D.O.
l(2x + y^3r),dx + l(3xy^2 + 3x^2 + 3xy^3r),dy = 0
e pede (a) verificar que não é exata e achar um fator integrante, e (b) resolver a equação após aplicar esse fator. Vamos usar a teoria de equações exatas e fator integrante.

Passo 2

Definimos
M(x,y) = 2x + y^3, N(x,y) = 3xy^2 + 3x^2 + 3xy^3
Calculamos as derivadas parciais
My = partialpartial y(2x + y^3) = 3y^2, Nx = partialpartial x(3xy^2 + 3x^2 + 3xy^3) = 3y^2 + 6x + 3y^3
Como My neq Nx, a equação não é exata.

Passo 3

Buscamos um fator integrante que dependa só de x ou só de y. Para mu(x) teríamos
My-NxN função só de (x), çãó
mas isso dá expressão em x e y. Agora para mu(y) vemos que
Nx-MyM = (3y^2+6x+3y^3) - 3y^22x + y^3 = 6x + 3y^32x + y^3 =3,
que é constante (logo função de y). Assim
dlnmudy = 3 ;Longrightarrow; mu(y) = e^3y

Passo 4

Multiplicamos a E.D.O. original por mu(y)=e^3y, obtendo
M^*(x,y),dx + N^*(x,y),dy = 0,
onde
M^* = e^3y(2x + y^3), N^* = e^3y(3xy^2 + 3x^2 + 3xy^3)
Agora a equação é exata, pois verifica-se partial M^*/partial y = partial N^*/partial x.

Passo 5

Buscamos uma função potencial psi(x,y) tal que
psix = M^* = e^3y(2x + y^3)
Integrando em relação a x (tratando y como constante):
psi(x,y) = integral e^3y(2x + y^3),dx = e^3yl(x^2 + x,y^3r) + h(y)

Passo 6

Calculamos
psiy = partialpartial yl[e^3y(x^2 + x,y^3)r] + h'(y) = e^3yl(3x^2 + 3x,y^3 + 3x,y^2r) + h'(y)
Como isso deve ser igual a N^* = e^3y(3xy^2 + 3x^2 + 3xy^3), concluímos h'(y)=0, logo h é constante.

Passo 7

A solução implícita fica
psi(x,y) = e^3yl(x^2 + x,y^3r) = C,
ou, fatorando,
x,(x + y^3),e^3y = C

Resposta

x,(x + y^3),e^3y = C

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