Questão: (20 pontos) Considere a sequinte E.D.O. seguinte:
(a) Verifique que a equação não é EXATA e encontre um FATOR integrante adequado.
(b) Resolva a equação diferencial dada.
(b) Resolva a equação diferencial dada.
Passo 1
O enunciado dá a E.D.O.
e pede (a) verificar que não é exata e achar um fator integrante, e (b) resolver a equação após aplicar esse fator. Vamos usar a teoria de equações exatas e fator integrante.
Passo 2
Definimos
Calculamos as derivadas parciais
Como
, a equação não é exata.
Passo 3
Buscamos um fator integrante que dependa só de
ou só de
. Para
teríamos
mas isso dá expressão em
e
. Agora para
vemos que
que é constante (logo função de
). Assim
Passo 4
Multiplicamos a E.D.O. original por
, obtendo
onde
Agora a equação é exata, pois verifica-se
.
Passo 5
Buscamos uma função potencial
tal que
Integrando em relação a
(tratando
como constante):
Passo 6
Calculamos
Como isso deve ser igual a
, concluímos
, logo
é constante.
Passo 7
A solução implícita fica
ou, fatorando,