Questão 3 (20 pontos): Considere o sistema de equaçōes diferenciais lineares de 1a ordem homogèneo (3).
\left[\begin{array}{l} \dot{x}_{1}(t) \\\ \dot{x}_{2}(t) \end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc} -1 & 4 \\\\ 6 & 4 \end{array}\right]\left[\begin{array}{l} x_{1}(t) \\\ x_{2}(t) \end{array}\right]
Pede-se:
(a) Determine a sua solução geral.
(b) Apresente a matriz fundamental de soluções X(t).
(c) Obtenha a solução particular considerando a condição inicial x(0)=\left[\begin{array}{ll}-1 & 0\end{array}\right]^{T}.

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema homogêneo de 1ª ordem
\dot{x}(t)=A\,x(t), \quad A=\begin{pmatrix}-1 & 4 \\[6pt]6 & 4\end{pmatrix},
e pede:
(a) a solução geral via autovalores e autovetores;
(b) a matriz fundamental de soluções X(t);
(c) a solução que satisfaz x(0)=\begin{pmatrix}-1\\\ 0\end{pmatrix}.]

Passo 2

Vamos achar o polinômio característico de A:
\det(A-\lambda I) =\det\!\begin{pmatrix}-1-\lambda & 4\\[3pt]6 & 4-\lambda\end{pmatrix} =(-1-\lambda)(4-\lambda)-24 =\lambda^2-3\lambda-28.
Resolvendo \lambda^2-3\lambda-28=0 obtemos
\lambda_{1}=\frac{3+11}{2}=7, \quad \lambda_{2}=\frac{3-11}{2}=-4.]

Passo 3

Para \lambda_{1}=7 resolvemos (A-7I)v=0:
\begin{pmatrix}-8 & 4\\[3pt]6 & -3\end{pmatrix}\!\begin{pmatrix}v_1\v_2\end{pmatrix}=0 \;\Longrightarrow\; -8v_1+4v_2=0\;\Rightarrow\;v_2=2v_1.
Escolhendo v^{(1)}=\begin{pmatrix}1\\\ 2\end{pmatrix}.
Para \lambda_{2}=-4 resolvemos (A+4I)v=0:
\begin{pmatrix}3 & 4\\[3pt]6 & 8\end{pmatrix}\!\begin{pmatrix}v_1\v_2\end{pmatrix}=0 \;\Longrightarrow\; 3v_1+4v_2=0\;\Rightarrow\;v_2=-\tfrac34v_1.
Escolhendo v^{(2)}=\begin{pmatrix}4\\\ -3\end{pmatrix}.]

Passo 4

A solução geral fica
x(t) =C_{1}e^{7t}\begin{pmatrix}1\\\ 2\end{pmatrix} +C_{2}e^{-4t}\begin{pmatrix}4\\\ -3\end{pmatrix},
com C_{1},C_{2} constantes arbitrárias.

Passo 5

A matriz fundamental X(t) tem como colunas as duas soluções independentes:
X(t) =\begin{pmatrix} e^{7t} & 4e^{-4t}\\[4pt] 2e^{7t} & -3e^{-4t} \end{pmatrix}.]

Passo 6

Para satisfazer x(0)=\bigl(-1,0\bigr)^{T}\), impomos \[X(0)\begin{pmatrix}C_{1}\C_{2}\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1 & 4\\[3pt]2 & -3\end{pmatrix} \begin{pmatrix}C_{1}\C_{2}\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-1\\\ 0\end{pmatrix}.
Isso leva ao sistema
\begin{cases} C_{1}+4C_{2}=-1,\\[3pt] 2C_{1}-3C_{2}=0, \end{cases}
cuja solução é C_{1}=-\tfrac{3}{11}\], \(C_{2}=-\tfrac{2}{11}.
Logo a solução particular é
x(t) =-\tfrac{3}{11}e^{7t}\begin{pmatrix}1\\\ 2\end{pmatrix} -\tfrac{2}{11}e^{-4t}\begin{pmatrix}4\\\ -3\end{pmatrix}.]

Resposta

(a) \displaystyle x(t) =C_{1}e^{7t}\begin{pmatrix}1\\\ 2\end{pmatrix} +C_{2}e^{-4t}\begin{pmatrix}4\\\ -3\end{pmatrix}.
(b) \displaystyle X(t) =\begin{pmatrix} e^{7t} & 4e^{-4t}\\[4pt] 2e^{7t} & -3e^{-4t} \end{pmatrix}.
(c) \displaystyle x(t) =-\tfrac{3}{11}e^{7t}\begin{pmatrix}1\\\ 2\end{pmatrix} -\tfrac{2}{11}e^{-4t}\begin{pmatrix}4\\\ -3\end{pmatrix}.]

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