Questão 2 (20 pontos): Considere a EDP (2). Utilize o método da separação de variáveis para encontrar uma solução geral para a equaçio. Utilize a constante de separação como sendo positiva.
\alpha^{2} \cdot \frac{\partial y(\alpha, \beta)}{\partial \alpha}-\frac{1}{16} \cdot \frac{\partial^{2} y(\alpha, \beta)}{\partial \beta^{2}}=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver, por separação de variáveis, a PDE
\alpha^{2}\,\frac{\partial y(\alpha,\beta)}{\partial \alpha} -\frac{1}{16}\,\frac{\partial^{2}y(\alpha,\beta)}{\partial \beta^{2}} =0
usando uma constante de separação positiva. Vamos buscar uma solução geral do tipo
y(\alpha,\beta)=A(\alpha)\,B(\beta).

Passo 2

Substituindo y(\alpha,\beta)=A(\alpha)B(\beta) na PDE e dividindo por A(\alpha)B(\beta), obtemos
\alpha^{2}\,\frac{A'(\alpha)}{A(\alpha)} -\frac{1}{16}\,\frac{B''(\beta)}{B(\beta)}=0 \quad\Longrightarrow\quad \alpha^{2}\,\frac{A'(\alpha)}{A(\alpha)} =\frac{1}{16}\,\frac{B''(\beta)}{B(\beta)}\,.
Cada lado depende de uma só variável, logo ambos valem uma constante, digamos \mu>0.

Passo 3

Da separação temos então dois ODEs:
para B(\beta),
\frac{1}{16}\,\frac{B''(\beta)}{B(\beta)}=\mu \quad\Longrightarrow\quad B''(\beta)-16\,\mu\,B(\beta)=0,
e para A(\alpha),
\alpha^{2}\,\frac{A'(\alpha)}{A(\alpha)}=\mu \quad\Longrightarrow\quad \frac{A'(\alpha)}{A(\alpha)}=\frac{\mu}{\alpha^{2}}.

Passo 4

Resolvendo para B(\beta):
B''-16\mu\,B=0 \quad\Longrightarrow\quad B(\beta)=C_{1}\,e^{4\sqrt{\mu}\,\beta} +C_{2}\,e^{-4\sqrt{\mu}\,\beta},
com C_{1},C_{2} constantes arbitrárias.

Passo 5

Resolvendo para A(\alpha):
\frac{d}{d\alpha}\bigl(\ln A\bigr) =\frac{\mu}{\alpha^{2}} \quad\Longrightarrow\quad \ln A(\alpha)=-\frac{\mu}{\alpha}+C_{3} \quad\Longrightarrow\quad A(\alpha)=C_{3}'\,\exp\!\bigl(-\tfrac{\mu}{\alpha}\bigr),
onde C_{3}'=e^{C_{3}} é constante.

Passo 6

Multiplicando as duas partes, uma solução separada é
y_{\mu}(\alpha,\beta) =C\,\exp\!\bigl(-\tfrac{\mu}{\alpha}\bigr) \Bigl(e^{4\sqrt{\mu}\,\beta}+k\,e^{-4\sqrt{\mu}\,\beta}\Bigr),
com C,k constantes que dependem de \mu. Como a PDE é linear e homogênea, a solução geral é dada por combinação (soma ou integral) sobre todos os \mu>0.

Resposta

A solução geral, em forma de superposição, pode então ser escrita como
y(\alpha,\beta) =\int_{0}^{\infty} \exp\!\bigl(-\tfrac{\mu}{\alpha}\bigr) \Bigl[ A(\mu)\,e^{4\sqrt{\mu}\,\beta} +B(\mu)\,e^{-4\sqrt{\mu}\,\beta} \Bigr]\,d\mu,
onde A(\mu) e B(\mu) são funções arbitrárias determinadas pelas condições de contorno ou iniciais.

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