Questão 2 (20 pontos): Considere a EDP (2). Utilize o método da separação de variáveis para encontrar uma solução geral para a equaçio. Utilize a constante de separação como sendo positiva.
Passo 1
O enunciado pede para resolver, por separação de variáveis, a PDE
usando uma constante de separação positiva. Vamos buscar uma solução geral do tipo
Passo 2
Substituindo
na PDE e dividindo por
, obtemos
Cada lado depende de uma só variável, logo ambos valem uma constante, digamos
.
Passo 3
Da separação temos então dois ODEs:
para ,
para
e para
,
Passo 4
Resolvendo para
:
com
constantes arbitrárias.
Passo 5
Resolvendo para
:
onde
é constante.
Passo 6
Multiplicando as duas partes, uma solução separada é
com
constantes que dependem de
. Como a PDE é linear e homogênea, a solução geral é dada por combinação (soma ou integral) sobre todos os
.
Resposta
A solução geral, em forma de superposição, pode então ser escrita como
onde
e
são funções arbitrárias determinadas pelas condições de contorno ou iniciais.