Questão 1 ( 30 pontos) Obtenha uma soluçăo geral da equação diferencial (1) usando o método de soluçāio por séries de potencias. Considere o valor central da série como sendo igual a zero. Năo é necessário apresentar a soluçio na forma compacta. No entanto, devern ser apresentados, ao menos, os quatro primeiros termos nāo-nulos da soluçăo.
y^{\prime \prime}(t)-2 \cdot t^{2} \cdot y^{\prime}(t)=0

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial
y''(t) \;-\; 2\,t^{2}\,y'(t)\;=\;0
usando séries de potências centradas em t=0. Vamos assumir
y(t)=\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}\,t^{n},
calcular y'(t) e y''(t), obter uma relação de recorrência entre os coeficientes a_{n} e, finalmente, achar pelo menos os quatro primeiros termos não nulos de y(t).

Passo 2

Calculamos as derivadas da série proposta:
y'(t)=\sum_{n=1}^{\infty}n\,a_{n}\,t^{\,n-1},
y''(t)=\sum_{n=2}^{\infty}n(n-1)\,a_{n}\,t^{\,n-2}.
Substituindo em y'' - 2t^{2}y'=0 obtemos
\sum_{n=2}^{\infty}n(n-1)\,a_{n}\,t^{\,n-2} \;-\; 2\;t^{2}\;\sum_{n=1}^{\infty}n\,a_{n}\,t^{\,n-1} \;=\;0.

Passo 3

Fazemos mudança de índice para comparar potências iguais de t. No primeiro somatório, coloque m=n-2, e no segundo, m=n+1. Isso leva a
\sum_{m=0}^{\infty}(m+2)(m+1)\,a_{m+2}\,t^{m} \;-\; \sum_{m=1}^{\infty}2\,(m-1)\,a_{m-1}\,t^{m} \;=\;0.
Para m=0 temos (2\cdot1)\,a_{2}=0, ou seja
a_{2}=0.
Para m\ge1, a condição de anulação do coeficiente de t^{m} dá a recorrência
(m+2)(m+1)\,a_{m+2} \;=\; 2\,(m-1)\,a_{m-1},
logo
a_{m+2} \;=\; \frac{2\,(m-1)}{(m+2)(m+1)}\,a_{m-1}.

Passo 4

Os coeficientes a_{0} e a_{1} são livres (constantes de integração). Usando a_{2}=0 e a recorrência:
m =1:
a_{3}=\frac{2(1-1)}{3\cdot2}\,a_{0}=0.
m =2:
a_{4}=\frac{2(2-1)}{4\cdot3}\,a_{1}=\frac{1}{6}\,a_{1}.
m =3:
a_{5}=\frac{2(3-1)}{5\cdot4}\,a_{2}=0.
m =4:
a_{6}=\frac{2(4-1)}{6\cdot5}\,a_{3}=0.
m =5:
a_{7}=\frac{2(5-1)}{7\cdot6}\,a_{4} =\frac{8}{42}\,a_{4} =\frac{2}{63}\,a_{1}.
m =6:
a_{8}=0,\quad a_{9}=0,
m =8:
a_{10} =\frac{2(8-1)}{10\cdot9}\,a_{7} =\frac{14}{90}\,a_{7} =\frac{2}{405}\,a_{1}.
Assim, os quatro primeiros termos não nulos vindos de a_{0},a_{1} são:
a_{0},\quad a_{1}t,\quad a_{4}t^{4}=\frac{a_{1}}{6}\,t^{4},\quad a_{7}t^{7}=\frac{2\,a_{1}}{63}\,t^{7}.

Passo 5

Reunindo, a solução geral em séries de potências até esses quatro termos é
y(t) =\;a_{0} \;+\;a_{1}\,t \;+\;\frac{a_{1}}{6}\,t^{4} \;+\;\frac{2\,a_{1}}{63}\,t^{7} \;+\;\cdots,
onde a_{0} e a_{1} são constantes arbitrárias.

Resposta

y(t) =C_{1} \;+\;C_{2}\Bigl(t+\tfrac{1}{6}t^{4}+\tfrac{2}{63}t^{7}+\tfrac{2}{405}t^{10}+\cdots\Bigr),
com C_{1}=a_{0} e C_{2}=a_{1}.

Exercícios relacionados