Questão 1 ( 30 pontos) Obtenha uma soluçăo geral da equação diferencial (1) usando o método de soluçāio por séries de potencias. Considere o valor central da série como sendo igual a zero. Năo é necessário apresentar a soluçio na forma compacta. No entanto, devern ser apresentados, ao menos, os quatro primeiros termos nāo-nulos da soluçăo.
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da equação diferencial
usando séries de potências centradas em
. Vamos assumir
calcular
e
, obter uma relação de recorrência entre os coeficientes
e, finalmente, achar pelo menos os quatro primeiros termos não nulos de
.
Passo 2
Calculamos as derivadas da série proposta:
Substituindo em
obtemos
Passo 3
Fazemos mudança de índice para comparar potências iguais de
. No primeiro somatório, coloque
, e no segundo,
. Isso leva a
Para
temos
, ou seja
Para
, a condição de anulação do coeficiente de
dá a recorrência
logo
Passo 4
Os coeficientes
e
são livres (constantes de integração). Usando
e a recorrência:
m
:
m
:
m
:
m
:
m
:
m
:
m
:
Assim, os quatro primeiros termos não nulos vindos de
são:
Passo 5
Reunindo, a solução geral em séries de potências até esses quatro termos é
onde
e
são constantes arbitrárias.
Resposta
com
e
.