Questão 2. (20 pontos) Demonstre por indução que para todo
, com
, tem-se que
Passo 1
O enunciado pede para provar, por indução, que para todo
e para todo
com
vale a igualdade
Informações relevantes fornecidas:
- A soma é a soma das potências de
desde até . - A condição
é dada (para evitar divisão por zero no denominador). - Precisa-se usar indução sobre
.
Passo 2
Definimos a propriedade a ser provada por indução. Seja
a proposição
Vou aplicar o princípio da indução matemática: (i) provar
(caso base) e (ii) mostrar que
implica
para todo
(passo indutivo). Isso garante
para todo
.
Passo 3
Caso base
. Avaliamos ambos os lados para
:
o lado esquerdo é
o lado esquerdo é
e o lado direito é
onde usamos que
para poder dividir por
. Portanto
é verdadeira.
Passo 4
Hipótese indutiva. Suponha que para algum
a proposição
seja verdadeira, isto é, suponha
Este é o passo em que assumimos que a fórmula vale para um
fixo qualquer — a partir disso vamos deduzir que vale para
.
Passo 5
Objetivo do passo indutivo: provar
, ou seja mostrar
Passo 6
Começamos manipulando a soma para
e usamos a hipótese indutiva para substituir a soma até
:
Pela hipótese indutiva,
. Então
Passo 7
Agora fazemos a álgebra para chegar à forma desejada. Colocamos
sobre o mesmo denominador
:
Somando os numeradores:
No numerador os termos
e
se cancelam, sobrando
Portanto
que é exatamente
.
Passo 8
Conclusão por indução. Mostramos
e que
para todo
. Pelo princípio da indução matemática,
é verdadeira para todo
. Observação final: a hipótese
é necessária porque o denominador
não pode ser zero; se
a soma é simplesmente
, e a fórmula com divisão não se aplica.