Questão 2. (20 pontos) Demonstre por indução que para todo n \in N, com r \neq 1, tem-se que
1+r+r^{2}+r^{3}+\cdots+r^{n}=\frac{1-r^{n+1}}{1-r}

Passo 1

O enunciado pede para provar, por indução, que para todo n \in \mathbb{N} e para todo r com r \neq 1 vale a igualdade
1 + r + r^{2} + r^{3} + \cdots + r^{n} = \frac{1 - r^{n+1}}{1 - r}.
Informações relevantes fornecidas:
  • A soma é a soma das potências de r desde r^{0} até r^{n}.
  • A condição r \neq 1 é dada (para evitar divisão por zero no denominador).
  • Precisa-se usar indução sobre n.

Passo 2

Definimos a propriedade a ser provada por indução. Seja P(n) a proposição
P(n):\quad 1 + r + r^{2} + \cdots + r^{n} = \frac{1 - r^{n+1}}{1 - r}.
Vou aplicar o princípio da indução matemática: (i) provar P(0) (caso base) e (ii) mostrar que P(k) implica P(k+1) para todo k\in\mathbb{N} (passo indutivo). Isso garante P(n) para todo n\in\mathbb{N}.

Passo 3

Caso base n=0. Avaliamos ambos os lados para n=0:
o lado esquerdo é
1 + r + \cdots + r^{0} = r^{0} = 1,
e o lado direito é
\frac{1 - r^{0+1}}{1 - r} = \frac{1 - r}{1 - r} = 1,
onde usamos que r \neq 1 para poder dividir por 1-r. Portanto P(0) é verdadeira.

Passo 4

Hipótese indutiva. Suponha que para algum k\in\mathbb{N} a proposição P(k) seja verdadeira, isto é, suponha
\sum_{i=0}^{k} r^{i} = 1 + r + r^{2} + \cdots + r^{k} = \frac{1 - r^{k+1}}{1 - r}.
Este é o passo em que assumimos que a fórmula vale para um k fixo qualquer — a partir disso vamos deduzir que vale para k+1.

Passo 5

Objetivo do passo indutivo: provar P(k+1), ou seja mostrar
\sum_{i=0}^{k+1} r^{i} = 1 + r + \cdots + r^{k} + r^{k+1} = \frac{1 - r^{k+2}}{1 - r}.

Passo 6

Começamos manipulando a soma para k+1 e usamos a hipótese indutiva para substituir a soma até k:
\sum_{i=0}^{k+1} r^{i} = \left(\sum_{i=0}^{k} r^{i}\right) + r^{k+1}.
Pela hipótese indutiva, \sum_{i=0}^{k} r^{i} = \dfrac{1 - r^{k+1}}{1 - r}. Então
\sum_{i=0}^{k+1} r^{i} = \frac{1 - r^{k+1}}{1 - r} + r^{k+1}.

Passo 7

Agora fazemos a álgebra para chegar à forma desejada. Colocamos r^{k+1} sobre o mesmo denominador (1-r):
\frac{1 - r^{k+1}}{1 - r} + r^{k+1} = \frac{1 - r^{k+1}}{1 - r} + \frac{r^{k+1}(1 - r)}{1 - r}.
Somando os numeradores:
\frac{1 - r^{k+1} + r^{k+1}(1 - r)}{1 - r} = \frac{1 - r^{k+1} + r^{k+1} - r^{k+2}}{1 - r}.
No numerador os termos -r^{k+1} e +r^{k+1} se cancelam, sobrando
\frac{1 - r^{k+2}}{1 - r}.
Portanto
\sum_{i=0}^{k+1} r^{i} = \frac{1 - r^{k+2}}{1 - r},
que é exatamente P(k+1).

Passo 8

Conclusão por indução. Mostramos P(0) e que P(k)\Rightarrow P(k+1) para todo k. Pelo princípio da indução matemática, P(n) é verdadeira para todo n\in\mathbb{N}. Observação final: a hipótese r\neq 1 é necessária porque o denominador (1-r) não pode ser zero; se r=1 a soma é simplesmente 1+1+\cdots+1 = n+1, e a fórmula com divisão não se aplica.

Resposta

1 + r + r^{2} + r^{3} + \cdots + r^{n} = \frac{1 - r^{n+1}}{1 - r}

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