Questão 4. (20 pontos) Analise a afirmação a seguir: “se a e b forem dois números naturais
ímpares, então a sua soma é sempre um número par”. Caso ela seja verdadeira, demonstre.
Se ela for falsa, apresente um contraexemplo.

Passo 1

O enunciado pede que eu analise a afirmação: “se a e b forem dois números naturais ímpares, então a sua soma é sempre um número par”.
Informações dadas:
  • a e b são números naturais e são ímpares.
  • A pergunta é dupla: determinar se a afirmação é verdadeira; se for, demonstrar; se for falsa, dar um contraexemplo.

Passo 2

Definição e entendimento do que significa “par” e “ímpar” (a parte teórica que preciso ensinar):
  • Dizemos que um número inteiro n é par se existe um inteiro k tal que n = 2k. Aqui k é qualquer número inteiro (como 0,1,2,\dots se estivermos em naturais).
  • Dizemos que um número inteiro n é ímpar se existe um inteiro k tal que n = 2k + 1.
    Explicando com calma: a ideia é que um número par é exatamente múltiplo de 2; um ímpar é um múltiplo de 2 mais 1. Esses são os modelos algébricos que usamos para provar coisas sobre paridade.

Passo 3

Aplicando a definição ao nosso caso: como a e b são ímpares, existem inteiros (no caso naturais ou inteiros não-negativos) k e \ell tais que
a = 2k + 1
e
b = 2\ell + 1.
Aqui eu explico o que cada símbolo significa: k e \ell representam os inteiros que geram a e b pela fórmula do ímpar; eles existem porque é a definição de ímpar.

Passo 4

Somando as duas expressões para a e b. Esta é a parte algébrica central — não pule etapas:
a + b = (2k + 1) + (2\ell + 1).
Agora distribuo e somo termo a termo:
a + b = 2k + 1 + 2\ell + 1 = 2k + 2\ell + 2.
Factorizando 2 em evidência:
a + b = 2\,(k + \ell + 1).

Passo 5

Interpretação do resultado algébrico: a expressão (k + \ell + 1) é soma de inteiros, logo é um inteiro (e, sendo k,\ell naturais, é também natural). Chamando esse inteiro de m, ou seja, tomando
m = k + \ell + 1,
obtemos
a + b = 2m.
Pela definição de número par (Passo 2), um número que pode ser escrito como 2 vezes um inteiro é par. Portanto a+b é par.

Passo 6

Resumo lógico do argumento (tipo “passo final” da prova): começamos com as representações a=2k+1 e b=2\ell+1, somamos e chegamos a a+b=2(k+\ell+1). Como k+\ell+1 é um inteiro, a+b é da forma 2 vezes um inteiro, ou seja, é par. Isso demonstra a afirmação.
Exemplo numérico rápido para fixar a intuição: se a=3 e b=7 (ambos ímpares), então a+b=3+7=10, que é par. Outro exemplo: 5+5=10. Esses exemplos ilustram a prova algébrica que fiz acima.

Passo 7

Observação alternativa (opcional, para aprender outro ponto de vista): em linguagem de restos da divisão por 2, um número ímpar tem resto 1 ao dividir por 2. Soma de restos 1+1=2 tem resto 0 (porque 2 é divisível por 2), logo a soma tem resto 0 e é par. É a mesma coisa, só com outra linguagem.

Resposta

Verdadeira: para quaisquer a,b naturais ímpares, a+b é sempre um número par.

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