Questão 4. (20 pontos) Analise a afirmação a seguir: “se a e b forem dois números naturais
ímpares, então a sua soma é sempre um número par”. Caso ela seja verdadeira, demonstre.
Se ela for falsa, apresente um contraexemplo.
ímpares, então a sua soma é sempre um número par”. Caso ela seja verdadeira, demonstre.
Se ela for falsa, apresente um contraexemplo.
Passo 1
O enunciado pede que eu analise a afirmação: “se
e
forem dois números naturais ímpares, então a sua soma é sempre um número par”.
Informações dadas:
Informações dadas:
-
e são números naturais e são ímpares. - A pergunta é dupla: determinar se a afirmação é verdadeira; se for, demonstrar; se for falsa, dar um contraexemplo.
Passo 2
Definição e entendimento do que significa “par” e “ímpar” (a parte teórica que preciso ensinar):
- Dizemos que um número inteiro
é par se existe um inteiro tal que . Aqui é qualquer número inteiro (como se estivermos em naturais). - Dizemos que um número inteiro
é ímpar se existe um inteiro tal que .
Explicando com calma: a ideia é que um número par é exatamente múltiplo de; um ímpar é um múltiplo de mais . Esses são os modelos algébricos que usamos para provar coisas sobre paridade.
Passo 3
Aplicando a definição ao nosso caso: como
e
são ímpares, existem inteiros (no caso naturais ou inteiros não-negativos)
e
tais que
e
Aqui eu explico o que cada símbolo significa:
e
representam os inteiros que geram
e
pela fórmula do ímpar; eles existem porque é a definição de ímpar.
Passo 4
Somando as duas expressões para
e
. Esta é a parte algébrica central — não pule etapas:
Agora distribuo e somo termo a termo:
Factorizando
em evidência:
Passo 5
Interpretação do resultado algébrico: a expressão
é soma de inteiros, logo é um inteiro (e, sendo
naturais, é também natural). Chamando esse inteiro de
, ou seja, tomando
obtemos
Pela definição de número par (Passo 2), um número que pode ser escrito como
vezes um inteiro é par. Portanto
é par.
Passo 6
Resumo lógico do argumento (tipo “passo final” da prova): começamos com as representações
e
, somamos e chegamos a
. Como
é um inteiro,
é da forma
vezes um inteiro, ou seja, é par. Isso demonstra a afirmação.
Exemplo numérico rápido para fixar a intuição: se e
(ambos ímpares), então
, que é par. Outro exemplo:
. Esses exemplos ilustram a prova algébrica que fiz acima.
Exemplo numérico rápido para fixar a intuição: se
Passo 7
Observação alternativa (opcional, para aprender outro ponto de vista): em linguagem de restos da divisão por
, um número ímpar tem resto
ao dividir por
. Soma de restos
tem resto
(porque
é divisível por
), logo a soma tem resto
e é par. É a mesma coisa, só com outra linguagem.
Resposta
Verdadeira: para quaisquer
naturais ímpares,
é sempre um número par.