Escreva integrais que calculem a área da superfície obtida ao rotacionar a curva dada pelo eixo
e pelo eixo
.
;
Passo 1
O enunciado dá a curva
no intervalo
e pede que a gente escreva integrais que calculam a área da superfície obtida ao rotacionar essa curva em torno do eixo
e em torno do eixo
. Informações relevantes fornecidas:
As perguntas são: (1) qual é a integral que dá a área da superfície quando a curva gira em torno do eixo
? e (2) qual é a integral que dá a área da superfície quando a curva gira em torno do eixo
?
Passo 2
Vamos lembrar a fórmula prática para área de superfície gerada por revolução (vou explicar devagar, como se estivéssemos fazendo na prova). Considere um pedaço da curva
. Pegando um pequeno intervalo
, o comprimento do arco desse pedaço é
Se esse pequeno segmento gira em torno do eixo
, ele gera uma faixa cuja área aproximada é a circunferência de raio
vezes a largura
, ou seja
. Integrando de
a
obtemos a fórmula:
Se girarmos em torno do eixo
, a distância do ponto à reta
é o valor absoluto de
, então
Explicação rápida do porquê do valor absoluto: a “raio” da rotação é a distância perpendicular ao eixo
; para
negativo essa distância é
. Em muitos casos, pela simetria, podemos simplificar essas integrais.
Passo 3
Agora calculemos a derivada necessária. Para
temos, usando regra da cadeia,
Estou escrevendo cada passo para você poder reproduzir na prova: derive o expoente
e multiplica pelo próprio exponencial.
Passo 4
Elevando ao quadrado a derivada para aparecer em
:
Então o fator dentro da raiz fica
Passo 5
Substituindo na fórmula para rotação em torno do eixo
com os limites
e
, obtemos
Uma observação prática (útil na prova): a função
é par, e
também é par (depende de
). Logo o integrando é uma função par, o que permite simplificar a integral como o dobro da integral de
a
. Assim
Isso costuma facilitar cálculos numéricos ou manipulações.
Passo 6
Para rotação em torno do eixo
usamos a fórmula com
:
Aqui também podemos usar a simetria: o integrando é par (porque
é par e o outro fator também), só que quando restringimos a
podemos tirar vantagem e escrever
Note que substituí
por
na integração de
a
porque
nesse intervalo.
Passo 7
Comentário final (útil para a prova): ambas integrais não têm primitiva elementar simples — ou seja, normalmente a resposta final se deixa na forma de integral definida como escrevemos. Se for pedido um valor numérico, use métodos numéricos ou uma calculadora/softwares para avaliar as integrais a partir das expressões acima. Você fez certinho até aqui — respira, isso é o que a maioria das provas pede: escrever a integral correta e, se necessário, simplificar por simetria.