Escreva integrais que calculem a área da superfície obtida ao rotacionar a curva dada pelo eixo x e pelo eixo y.
y=e^{-x^{2}},-1 \leq x \leq 1;

Passo 1

O enunciado dá a curva y=e^{-x^{2}} no intervalo -1 \leq x \leq 1 e pede que a gente escreva integrais que calculam a área da superfície obtida ao rotacionar essa curva em torno do eixo x e em torno do eixo y. Informações relevantes fornecidas:
\text{curva: } y=e^{-x^{2}},\qquad \text{intervalo: } x\in[-1,1].
As perguntas são: (1) qual é a integral que dá a área da superfície quando a curva gira em torno do eixo x? e (2) qual é a integral que dá a área da superfície quando a curva gira em torno do eixo y?

Passo 2

Vamos lembrar a fórmula prática para área de superfície gerada por revolução (vou explicar devagar, como se estivéssemos fazendo na prova). Considere um pedaço da curva y=f(x). Pegando um pequeno intervalo [x,x+dx], o comprimento do arco desse pedaço é
ds=\sqrt{1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^{2}}\,dx.
Se esse pequeno segmento gira em torno do eixo x, ele gera uma faixa cuja área aproximada é a circunferência de raio y vezes a largura ds, ou seja dS\approx 2\pi y\,ds. Integrando de a a b obtemos a fórmula:
S_{x}=2\pi\int_{a}^{b} y\sqrt{1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^{2}}\,dx.
Se girarmos em torno do eixo y, a distância do ponto à reta y é o valor absoluto de x, então
S_{y}=2\pi\int_{a}^{b} |x|\sqrt{1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^{2}}\,dx.
Explicação rápida do porquê do valor absoluto: a “raio” da rotação é a distância perpendicular ao eixo y; para x negativo essa distância é |x|. Em muitos casos, pela simetria, podemos simplificar essas integrais.

Passo 3

Agora calculemos a derivada necessária. Para y=e^{-x^{2}} temos, usando regra da cadeia,
\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}\bigl(e^{-x^{2}}\bigr)=e^{-x^{2}}\cdot\frac{d}{dx}(-x^{2}) = -2x\,e^{-x^{2}}.
Estou escrevendo cada passo para você poder reproduzir na prova: derive o expoente -x^{2} e multiplica pelo próprio exponencial.

Passo 4

Elevando ao quadrado a derivada para aparecer em ds:
\left(\frac{dy}{dx}\right)^{2}=(-2x\,e^{-x^{2}})^{2}=4x^{2}e^{-2x^{2}}.
Então o fator dentro da raiz fica
1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^{2}=1+4x^{2}e^{-2x^{2}}.

Passo 5

Substituindo na fórmula para rotação em torno do eixo x com os limites a=-1 e b=1, obtemos
S_{x}=2\pi\int_{-1}^{1} e^{-x^{2}}\sqrt{1+4x^{2}e^{-2x^{2}}}\,dx.
Uma observação prática (útil na prova): a função y=e^{-x^{2}} é par, e \sqrt{1+4x^{2}e^{-2x^{2}}} também é par (depende de x^{2}). Logo o integrando é uma função par, o que permite simplificar a integral como o dobro da integral de 0 a 1. Assim
S_{x}=4\pi\int_{0}^{1} e^{-x^{2}}\sqrt{1+4x^{2}e^{-2x^{2}}}\,dx.
Isso costuma facilitar cálculos numéricos ou manipulações.

Passo 6

Para rotação em torno do eixo y usamos a fórmula com |x|:
S_{y}=2\pi\int_{-1}^{1} |x|\sqrt{1+4x^{2}e^{-2x^{2}}}\,dx.
Aqui também podemos usar a simetria: o integrando é par (porque |x| é par e o outro fator também), só que quando restringimos a x\ge 0 podemos tirar vantagem e escrever
S_{y}=4\pi\int_{0}^{1} x\sqrt{1+4x^{2}e^{-2x^{2}}}\,dx.
Note que substituí |x| por x na integração de 0 a 1 porque x\ge0 nesse intervalo.

Passo 7

Comentário final (útil para a prova): ambas integrais não têm primitiva elementar simples — ou seja, normalmente a resposta final se deixa na forma de integral definida como escrevemos. Se for pedido um valor numérico, use métodos numéricos ou uma calculadora/softwares para avaliar as integrais a partir das expressões acima. Você fez certinho até aqui — respira, isso é o que a maioria das provas pede: escrever a integral correta e, se necessário, simplificar por simetria.

Resposta

S_{x}=2\pi\int_{-1}^{1} e^{-x^{2}}\sqrt{1+4x^{2}e^{-2x^{2}}}\,dx = 4\pi\int_{0}^{1} e^{-x^{2}}\sqrt{1+4x^{2}e^{-2x^{2}}}\,dx
S_{y}=2\pi\int_{-1}^{1} |x|\sqrt{1+4x^{2}e^{-2x^{2}}}\,dx = 4\pi\int_{0}^{1} x\sqrt{1+4x^{2}e^{-2x^{2}}}\,dx

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