Encontre o limite ou demonstre que não existe
Passo 1
O problema pede o valor do limite
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
aparece somada a
. Não há mais condições. Vou usar que a função cosseno é limitada e que a exponencial cresce muito quando seu expoente tende a
.
Passo 2
Entendendo o comportamento de
quando
.
- Se
, então . - A função exponencial
tende a quando . - Portanto, explicando passo a passo:
Ou seja, a parcela
diverge para
ao fazermos
ir para
.
Passo 3
Entendendo o comportamento de
.
- Sabemos que, para todo
, satisfaz . - Tomando
e multiplicando por , obtemos a desigualdade válida para todo :
Isso significa que a segunda parcela é sempre limitada entre
e
; ela oscila, mas nunca cresce sem limite.
Passo 4
Combinação das informações (fazendo as desigualdades com a soma).
A partir da desigualdade do passo anterior, somando
dos dois lados obtemos, para todo
,
Aqui cada desigualdade é obtida somando
(positivo) aos três membros da desigualdade
.
Passo 5
Passando ao limite das desigualdades e conclusão.
- Do passo 2 temos
quando . - Portanto as funções limite das extremidades das desigualdades também divergem para
: - Como a função
está presa entre essas duas que tendem a , a própria função também tende a . Em termos simples: o termo exponencial cresce tanto que a oscilação limitada de não impede a soma de ir para .
Passo 6
Interpretação final: o limite não é um número finito; a expressão diverge para
. Isso significa que, ao aproximar
de
, os valores de
tornam-se arbitrariamente grandes e positivos.