Encontre o limite ou demonstre que não existe
\lim _{x \rightarrow-\infty}\left(e^{-x}+2 \cos 3 x\right)

Passo 1

O problema pede o valor do limite
\lim_{x\to -\infty}\left(e^{-x}+2\cos 3x\right).
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
\;e^{-x} aparece somada a 2\cos 3x. Não há mais condições. Vou usar que a função cosseno é limitada e que a exponencial cresce muito quando seu expoente tende a +\infty.

Passo 2

Entendendo o comportamento de \;e^{-x} quando x\to -\infty.
  • Se x\to -\infty, então -x\to +\infty.
  • A função exponencial t\mapsto e^{t} tende a +\infty quando t\to +\infty.
  • Portanto, explicando passo a passo: x\to -\infty \quad\Rightarrow\quad -x\to +\infty \quad\Rightarrow\quad e^{-x}=e^{(-x)}\to +\infty.
Ou seja, a parcela \;e^{-x} diverge para +\infty ao fazermos x ir para -\infty.

Passo 3

Entendendo o comportamento de \;2\cos 3x.
  • Sabemos que, para todo t, \cos t satisfaz -1\le \cos t\le 1.
  • Tomando t=3x e multiplicando por 2, obtemos a desigualdade válida para todo x: -2 \le 2\cos 3x \le 2.
Isso significa que a segunda parcela é sempre limitada entre -2 e 2; ela oscila, mas nunca cresce sem limite.

Passo 4

Combinação das informações (fazendo as desigualdades com a soma).
A partir da desigualdade do passo anterior, somando e^{-x} dos dois lados obtemos, para todo x,
e^{-x}-2 \le e^{-x}+2\cos 3x \le e^{-x}+2.
Aqui cada desigualdade é obtida somando e^{-x} (positivo) aos três membros da desigualdade -2\le 2\cos3x\le 2.

Passo 5

Passando ao limite das desigualdades e conclusão.
  • Do passo 2 temos \;e^{-x}\to +\infty quando x\to -\infty.
  • Portanto as funções limite das extremidades das desigualdades também divergem para +\infty: \lim_{x\to -\infty}\big(e^{-x}-2\big)=+\infty, \qquad \lim_{x\to -\infty}\big(e^{-x}+2\big)=+\infty.
  • Como a função e^{-x}+2\cos 3x está presa entre essas duas que tendem a +\infty, a própria função também tende a +\infty. Em termos simples: o termo exponencial cresce tanto que a oscilação limitada de 2\cos3x não impede a soma de ir para +\infty.

Passo 6

Interpretação final: o limite não é um número finito; a expressão diverge para +\infty. Isso significa que, ao aproximar x de -\infty, os valores de e^{-x}+2\cos3x tornam-se arbitrariamente grandes e positivos.

Resposta

\lim_{x\to -\infty}\left(e^{-x}+2\cos 3x\right)=+\infty

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