Questão 3. (20 pontos) Uma função periódica de período T, f(t+T)=f(t), tem a seguinte transformada de Laplace
\mathcal{L}(f(t))=\frac{\int_{0}^{T} e^{-s t} f(t) d t}{1-e^{-s T}}
Escreva a seguinte função periódica como uma série de funções degrau e esboce seu gráfico
g(t)=\left\{\begin{array}{ll} 1, & 0 \leq t<1 \\\\ 0, & 1 \leq t<2 \end{array} \quad, \quad g(t+2)=g(t)\right.
Use (5) para calcular \mathcal{L}(g(t)).

Passo 1

O enunciado pede três coisas claras (vou listar exatamente o que foi dado e o que é pedido):
  • A função periódica g(t)\) é definida por: \[g(t)=\begin{cases} 1, & 0 \le t < 1,\\[4pt] 0, & 1 \le t < 2, \end{cases} \qquad g(t+2)=g(t).
  • Foi dada a fórmula geral para a transformada de Laplace de uma função periódica de período T\]: \[\mathcal{L}(f(t))=\frac{\displaystyle\int_{0}^{T} e^{-s t} f(t)\,d t}{1-e^{-s T}}.\] - O que o enunciado pede: 1. Escrever \(g(t) como uma série de funções degrau (funções de Heaviside).
    2. Esboçar o gráfico de g(t) (um período e indicar repetição).
    3. Usar a fórmula dada (a equação acima) para calcular \mathcal{L}(g(t)).]

Passo 2

Definir a função degrau (Heaviside) e montar o bloco básico: a função degrau u(t) vale 0 para t<0 e 1 para t\ge0. Um pulso de altura 1 ativo no intervalo [a,b) pode ser escrito como
u(t-a)-u(t-b),
porque para t<a ambos são 0, para a\le t<b o primeiro é 1 e o segundo é 0 (logo a diferença é 1), e para t\ge b ambos são 1 (diferença 0).
No nosso caso, dentro do período básico [0,2) o pulso de altura 1 está em [0,1). Repetindo isso com período 2 obtemos somas deslocadas por 2k. Assim uma representação natural é somar os pulsos para todos os inteiros k:
g(t)=\sum_{k\in\mathbb{Z}}\bigl(u(t-2k)-u(t-(2k+1))\bigr).
Explicando: para t no intervalo [2k,2k+1) cada termo com esse k 1 e os demais dão 0, então a soma vale 1; para t em [2k+1,2k+2) o termo com esse k vale 0, logo a soma é 0. Isso reproduz exatamente a definição periódica pedida.
Observação prática: se interessar apenas para t\ge0 pode-se escrever a soma começando em k=0:
g(t)=\sum_{k=0}^{\infty}\bigl(u(t-2k)-u(t-(2k+1))\bigr),\qquad (t\ge0).

Passo 3

Esboço do gráfico (descrição e um rascunho textual). Vou descrever um período e indicar que se repete com período 2.
Um período 0\le t<2:
  • Em 0\le t<1: g(t)=1 (reta horizontal em altura 1).
  • Em 1\le t<2: g(t)=0 (reta horizontal em altura 0).
Réplica para os demais períodos: o mesmo padrão se repete para [2,4), [-2,0) etc.
Um rascunho textual (visual rápido, cada bloco de largura 1 no tempo):
t: 0 1 2 3 4
g: [1]–[0]–[1]–[0]–[1]-- …
Onde [1] significa altura 1 no intervalo de comprimento 1, e [0] significa altura 0 no intervalo seguinte. (No esboço real, desenhar retas horizontais em 1 e 0 alternadas com descontinuidades nas abscissas t=1,3,5,\dots.)

Passo 4

Usar a fórmula da transformada de Laplace para função periódica com período T=2:
\mathcal{L}(g(t))=\frac{\displaystyle\int_{0}^{2} e^{-s t} g(t)\,dt}{1-e^{-s\cdot 2}}.
Dentro de [0,2) temos g(t)=1 para 0\le t<1 e g(t)=0 para 1\le t<2. Então a integral no numerador reduz-se a
\int_{0}^{2} e^{-s t} g(t)\,dt=\int_{0}^{1} e^{-s t}\,dt.
Calcule essa integral elementar:
\int_{0}^{1} e^{-s t}\,dt=\left[-\frac{1}{s}e^{-s t}\right]_{0}^{1}=-\frac{1}{s}e^{-s}-\left(-\frac{1}{s}e^{0}\right)=\frac{1-e^{-s}}{s}.

Passo 5

Substituir na fórmula da transformada:
\mathcal{L}(g(t))=\frac{\dfrac{1-e^{-s}}{s}}{1-e^{-2s}}=\frac{1-e^{-s}}{s\bigl(1-e^{-2s}\bigr)}.
Agora simplificar usando a fatoração 1-e^{-2s}=(1-e^{-s})(1+e^{-s}). Cancelando o fator comum 1-e^{-s} (para s tal que isso não seja zero; a expressão final é válida como função meromorfa e a região de convergência principal é \operatorname{Re}(s)>0) obtemos a forma simplificada:
\mathcal{L}(g(t))=\frac{1}{s\bigl(1+e^{-s}\bigr)}.
Se preferir, pode reescrever ainda como
\mathcal{L}(g(t))=\frac{1}{s}\cdot\frac{1}{1+e^{-s}}.

Resposta

\displaystyle \mathcal{L}(g(t))=\frac{1}{s\bigl(1+e^{-s}\bigr)}

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