Questão 1. (30 pontos) Encontre as transformadas inversas das seguintes funções
(10 pontos)
(10 pontos)
Passo 1
O enunciado dá a função no domínio de Laplace
e pede a transformada inversa, ou seja, encontrar
tal que
. Informação relevante dada:
- Numerador:
. - Denominador:
.
O objetivo é escreverem formas conhecidas cujas transformadas inversas são padrão, e então usar linearidade para obter (para ).
Passo 2
Primeiro passo prático: completar o quadrado do denominador para reconhecer a forma padrão. Calcular
Explicação breve do porquê: completar o quadrado transforma um polinômio quadrático em uma soma de um quadrado perfeito e uma constante, o que facilita identificar expressões do tipo
, padrão nas transformadas de exponenciais multiplicadas por seno/cosseno.
Passo 3
Reescrever o numerador em função de
(a mesma expressão que apareceu no denominador). Fazendo álgebra simples:
Portanto podemos decompor
como soma de duas frações:
Passo 4
Aqui entram as fórmulas padrão de transformada de Laplace (lembrando que
é a variável complexa da transformada e
é a variável do tempo):
- Para constantes
e ,
Aqui
é a taxa exponencial (deslocamento no eixo
) e
é a frequência angular do seno/cosseno. A transformada inversa usa exatamente essas relações de forma invertida. Além disso, a transformada é linear, então a inversa de uma soma é a soma das inversas.
No nosso caso observamos que o denominador tem a forma
, isto é, corresponde a
com
e
. Isso sugere funções do tipo
e
.
Passo 5
Aplicar as fórmulas termo a termo.
Primeiro termo:
Usando a primeira fórmula inversa,
Multiplicando por
obtemos a inversa do primeiro termo:
Segundo termo:
Pela segunda fórmula, com
,
Mas a fórmula padrão dá
. Aqui
, então
Multiplicando por
resulta
Passo 6
Somando as inversas dos dois termos (linearidade):
Fatorando
para ficar mais compacto,
Rápida verificação (opcional, mas útil): aplicar a transformada direta termo a termo recupera
cuja soma é exatamente
. Então a inversa está correta.