Questão 1. (30 pontos) Encontre as transformadas inversas das seguintes funções
(10 pontos)
F(s)=\frac{2 s+4}{s^{2}+2 s+5}

Passo 1

O enunciado dá a função no domínio de Laplace
F(s)=\frac{2s+4}{s^{2}+2s+5}
e pede a transformada inversa, ou seja, encontrar f(t) tal que \mathcal{L}\{f\}(s)=F(s). Informação relevante dada:
  • Numerador: 2s+4.
  • Denominador: s^{2}+2s+5.
    O objetivo é escrever F(s) em formas conhecidas cujas transformadas inversas são padrão, e então usar linearidade para obter f(t) (para t\ge 0).

Passo 2

Primeiro passo prático: completar o quadrado do denominador para reconhecer a forma padrão. Calcular
s^{2}+2s+5=(s+1)^{2}+4.
Explicação breve do porquê: completar o quadrado transforma um polinômio quadrático em uma soma de um quadrado perfeito e uma constante, o que facilita identificar expressões do tipo (s-a)^{2}+b^{2}, padrão nas transformadas de exponenciais multiplicadas por seno/cosseno.

Passo 3

Reescrever o numerador em função de s+1 (a mesma expressão que apareceu no denominador). Fazendo álgebra simples:
2s+4=2(s+1)+2.
Portanto podemos decompor F(s) como soma de duas frações:
F(s)=\frac{2(s+1)}{(s+1)^{2}+4}+\frac{2}{(s+1)^{2}+4}.

Passo 4

Aqui entram as fórmulas padrão de transformada de Laplace (lembrando que s é a variável complexa da transformada e t é a variável do tempo):
  • Para constantes a e b>0,
\mathcal{L}\{e^{at}\cos(bt)\}(s)=\frac{s-a}{(s-a)^{2}+b^{2}},
\mathcal{L}\{e^{at}\sin(bt)\}(s)=\frac{b}{(s-a)^{2}+b^{2}}.
Aqui a é a taxa exponencial (deslocamento no eixo s) e b é a frequência angular do seno/cosseno. A transformada inversa usa exatamente essas relações de forma invertida. Além disso, a transformada é linear, então a inversa de uma soma é a soma das inversas.
No nosso caso observamos que o denominador tem a forma (s+1)^{2}+2^{2}, isto é, corresponde a s-a com a=-1 e b=2. Isso sugere funções do tipo e^{-t}\cos(2t) e e^{-t}\sin(2t).

Passo 5

Aplicar as fórmulas termo a termo.
Primeiro termo:
\frac{2(s+1)}{(s+1)^{2}+4}=2\cdot\frac{(s-(-1))}{(s-(-1))^{2}+2^{2}}.
Usando a primeira fórmula inversa,
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{(s-(-1))}{(s-(-1))^{2}+2^{2}}\right\}=e^{-t}\cos(2t).
Multiplicando por 2 obtemos a inversa do primeiro termo:
2e^{-t}\cos(2t).
Segundo termo:
\frac{2}{(s+1)^{2}+4}=2\cdot\frac{1}{(s-(-1))^{2}+2^{2}}.
Pela segunda fórmula, com b=2,
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{2}{(s+1)^{2}+4}\right\} =2\cdot\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{1}{(s-(-1))^{2}+2^{2}}\right\}.
Mas a fórmula padrão dá \mathcal{L}^{-1}\{\dfrac{b}{(s-a)^{2}+b^{2}}\}=e^{at}\sin(bt). Aqui b=2, então
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{1}{(s+1)^{2}+4}\right\}=\frac{1}{2}e^{-t}\sin(2t).
Multiplicando por 2 resulta
e^{-t}\sin(2t).

Passo 6

Somando as inversas dos dois termos (linearidade):
f(t)=2e^{-t}\cos(2t)+e^{-t}\sin(2t).
Fatorando e^{-t} para ficar mais compacto,
f(t)=e^{-t}\bigl(2\cos(2t)+\sin(2t)\bigr),\qquad t\ge 0.
Rápida verificação (opcional, mas útil): aplicar a transformada direta termo a termo recupera
\mathcal{L}\{2e^{-t}\cos(2t)\}(s)=\frac{2(s+1)}{(s+1)^{2}+4}, \qquad \mathcal{L}\{e^{-t}\sin(2t)\}(s)=\frac{2}{(s+1)^{2}+4},
cuja soma é exatamente F(s). Então a inversa está correta.

Resposta

f(t)=e^{-t}\bigl(2\cos(2t)+\sin(2t)\bigr),\qquad t\ge 0

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