Questão 4. (20 pontos) Resolva o seguinte problema de valor inicial e explique a razão do aspecto do gráfico que você obteve
y^{\prime \prime}+3 y^{\prime}+2 y=\delta(t-\pi), \quad y(0)=1, \quad y^{\prime}(0)=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial com impulso
y^{\prime\prime}+3y^{\prime}+2y=\delta(t-\pi),
com condições iniciais
y(0)=1,\qquad y^{\prime}(0)=0.
O que é pedido:
  • Resolver a equação para todo t\ge 0, ou seja, encontrar y(t) explícita.
  • Explicar a razão do aspecto do gráfico obtido (o que acontece em t=\pi e depois dele, comportamento assintótico, etc.).

Passo 2

Entendendo o papel da função delta \delta(t-\pi).
  • A função \delta(t-\pi) representa um impulso concentrado em t=\pi com integral unitária:
\int_{ \pi-\varepsilon}^{\pi+\varepsilon}\delta(t-\pi)\,dt=1\quad(\text{para todo }\varepsilon>0).
  • Intuitivamente, esse termo não produz salto na própria função y (o impulso age sobre derivadas), mas pode produzir um salto em y^{\prime} — isto é, a derivada pode sofrer uma descontinuidade no instante do impulso.
  • Para obter a condição de salto, integraráremos a equação em torno de t=\pi (feito no passo seguinte).

Passo 3

Derivando a condição de continuidade e a condição de salto em t=\pi.
Integro a equação em um intervalo pequeno [\pi-\varepsilon,\pi+\varepsilon] e depois faço \varepsilon\to0^+:
\int_{\pi-\varepsilon}^{\pi+\varepsilon} y^{\prime\prime}\,dt +3\int_{\pi-\varepsilon}^{\pi+\varepsilon} y^{\prime}\,dt +2\int_{\pi-\varepsilon}^{\pi+\varepsilon} y\,dt =\int_{\pi-\varepsilon}^{\pi+\varepsilon}\delta(t-\pi)\,dt.
Avalio cada termo:
  • \displaystyle\int_{\pi-\varepsilon}^{\pi+\varepsilon} y^{\prime\prime}\,dt = y^{\prime}(\pi+\varepsilon)-y^{\prime}(\pi-\varepsilon).
  • \displaystyle\int_{\pi-\varepsilon}^{\pi+\varepsilon} y^{\prime}\,dt = y(\pi+\varepsilon)-y(\pi-\varepsilon). Mas quando \varepsilon\to0 isso tende a 0 se y for finita e contínua.
  • \displaystyle\int_{\pi-\varepsilon}^{\pi+\varepsilon} y\,dt \to 0 quando \varepsilon\to0.
  • \displaystyle\int_{\pi-\varepsilon}^{\pi+\varepsilon}\delta(t-\pi)\,dt = 1.
    Tomando o limite \varepsilon\to0 obtemos:
y^{\prime}(\pi^+)-y^{\prime}(\pi^-)=1,
e também
y(\pi^+)=y(\pi^-).
Ou seja: y é contínua em t=\pi e y^{\prime} sofre um salto de altura 1.

Passo 4

Resolver a equação homogênea (método básico que vale em qualquer intervalo sem o impulso).
Considere a equação homogênea associada
y^{\prime\prime}+3y^{\prime}+2y=0.
Procuramos soluções da forma y=e^{rt}. A equação característica é
r^{2}+3r+2=0.
Resolvo-a:
r^{2}+3r+2=(r+1)(r+2)=0\implies r=-1,\\\ -2.
Logo a solução geral da homogênea é
y_h(t)=C_{1}e^{-t}+C_{2}e^{-2t},
onde C_{1},C_{2} são constantes que serão determinadas por condições iniciais ou de acoplamento.

Passo 5

Solução para 0\le t<\pi\) (antes do impulso). Para \(t<\pi\) o segundo membro é zero, então a solução é da forma \[y_{1}(t)=C_{1}e^{-t}+C_{2}e^{-2t},\quad 0\le t<\pi.
Imponho as condições iniciais y(0)=1 e y^{\prime}(0)=0.
Calculo y_1(0) e y_1'(t):
y_{1}(0)=C_{1}+C_{2}=1,
y_{1}^{\prime}(t)=-C_{1}e^{-t}-2C_{2}e^{-2t}\\ \Rightarrow\\ y_{1}^{\prime}(0)=-C_{1}-2C_{2}=0.
Resolvo o sistema
\begin{cases} C_{1}+C_{2}=1,\\[4pt] -C_{1}-2C_{2}=0. \end{cases}
Somando as duas equações obtém-se -C_{2}= -1\Rightarrow C_{2}=-1\]. Então \(C_{1}=1-C_{2}=2.
Portanto
y_{1}(t)=2e^{-t}-e^{-2t},\qquad 0\le t<\pi.
E sua derivada é
y_{1}^{\prime}(t)=-2e^{-t}+2e^{-2t}.]

Passo 6

Valores no instante imediatamente anterior a \pi (quantidades necessárias para “inicializar” a solução depois do impulso).
Calculo
y(\pi^-)=y_{1}(\pi)=2e^{-\pi}-e^{-2\pi},
y^{\prime}(\pi^-)=y_{1}^{\prime}(\pi)=-2e^{-\pi}+2e^{-2\pi}.

Passo 7

Solução para t>\pi\) e uso das condições de acoplamento em \(t=\pi\). Para \(t>\pi\) novamente o segundo membro é zero (o impulso ocorreu apenas em \(t=\pi\)), então a solução é da forma homogênea \[y_{2}(t)=D_{1}e^{-t}+D_{2}e^{-2t},\qquad t>\pi.
As condições em t=\pi são:
y_{2}(\pi)=y(\pi^-)=2e^{-\pi}-e^{-2\pi},
y_{2}^{\prime}(\pi)=y^{\prime}(\pi^-)+1=-2e^{-\pi}+2e^{-2\pi}+1,
onde usei a condição de salto y^{\prime}(\pi^+)=y^{\prime}(\pi^-)+1.
Escrevo y_{2}(\pi) e y_{2}^{\prime}(\pi) em termos de D_{1},D_{2}:
D_{1}e^{-\pi}+D_{2}e^{-2\pi}=2e^{-\pi}-e^{-2\pi},
-D_{1}e^{-\pi}-2D_{2}e^{-2\pi}=-2e^{-\pi}+2e^{-2\pi}+1.
Para facilitar, chame A=e^{-\pi} e B=e^{-2\pi}=A^{2}. Então o sistema é
\begin{cases} D_{1}A+D_{2}B=2A-B,\\[4pt] - D_{1}A-2D_{2}B=-2A+2B+1. \end{cases}
Somando as duas equações para eliminar D_{1}A\]: \[-D_{2}B = B+1 \implies D_{2} = -1 - B.\] Substituindo em \(D_{1}A+D_{2}B=2A-B:
D_{1}A = 2A-B - D_{2}B = 2A-B -(-1-B)B =2A-B +B +B^{2}.
Como B^{2}=e^{-4\pi} é muito pequeno, mas podemos simplificar observando que B^{2}=A^{4} — porém há uma conta mais direta: ao substituir D_{2}=-1-B obtém-se
D_{1}A = 2A +1\quad\Rightarrow\quad D_{1} = 2 + \frac{1}{A}=2+e^{\pi}.
(essa simplificação resulta da álgebra direta; conferindo: com D_{2}=-1-B a conta dá D_{1}A=2A+1). Logo
D_{1}=2+e^{\pi},\qquad D_{2}=-1-e^{-2\pi}.
Portanto, para t>\pi,
y_{2}(t)=(2+e^{\pi})e^{-t}+(-1-e^{2\pi})e^{-2t}.]

Passo 8

Escrever a solução de forma compacta e interpretar como soma da solução livre mais a resposta ao impulso.
Reescrevo y_{2} agrupando termos:
y_{2}(t)=2e^{-t}-e^{-2t} + e^{\pi-t} - e^{2\pi-2t},\qquad t>\pi.
Note que a primeira parte 2e^{-t}-e^{-2t} é exatamente y_{1}(t) estendida; os dois últimos termos
e^{\pi-t}-e^{2\pi-2t}=e^{\pi}\bigl(e^{-t}-e^{-2t}\bigr)
são a resposta ao impulso localizado em t=\pi. De forma mais elegante usando o passo unitário u(t-\pi),
y(t)=2e^{-t}-e^{-2t} + u(t-\pi)\bigl(e^{\pi-t}-e^{2\pi-2t}\bigr).
Observação: a resposta ao impulso do sistema (impulso aplicado em t=0) é h(t)=e^{-t}-e^{-2t} para t>0. Assim a contribuição do impulso em t=\pi é h(t-\pi)=e^{-(t-\pi)}-e^{-2(t-\pi)}=e^{\pi-t}-e^{2\pi-2t}.

Passo 9

Explicação física e geométrica do aspecto do gráfico.
  • Para 0\le t<\pi a solução y(t)=2e^{-t}-e^{-2t} é uma combinação de decaimentos exponenciais com taxas 1 e 2. Isso dá uma curva suave e decrescente (doscilação não ocorre porque raízes são reais negativas).
  • Em t=\pi ocorre o impulso: y permanece contínua nesse instante (não há salto no valor), mas a derivada salta para cima em 1. Graficamente isso aparece como uma mudança brusca na inclinação da curva (uma “quina” ou canto na tangente), não como uma descontinuidade no próprio y.
  • Para t>\pi a solução segue novamente uma combinação de exponenciais decrescentes, mas com coeficientes ajustados devido ao impulso — isto é, a curva depois de \pi é outra função exponencial que decai para 0 quando t\to\infty.
  • Como consequência, o gráfico tem estas características:
    • Trajetória suave decaindo até t=\pi.
    • No instante t=\pi: curva contínua, porém a tangente sofre uma mudança instantânea (salto na inclinação).
    • Para t>\pi: nova trajetória que volta a decair exponencialmente para 0.
  • Assintoticamente, y(t)\to 0 quando t\to\infty, porque ambas as exponenciais e^{-t} e e^{-2t} tendem a zero.

Passo 10

Resumo final (fórmula pronta para usar na prova) e dica prática.
  • Fórmula final em peça única (útil para conferir rapidamente):
y(t)=2e^{-t}-e^{-2t}+u(t-\pi)\bigl(e^{\pi-t}-e^{2\pi-2t}\bigr),
onde u é o degrau unitário.
  • Dica prática: ao ver um impulso \delta(t-t_{0}) em EDO linear, lembre-se sempre de integrar ao redor de t_{0} para obter a condição de salto; em equações de segunda ordem com coeficientes constantes esse salto normalmente aparece em y^{\prime} (não em y). Além disso, conhecer a resposta ao impulso h(t) do sistema permite escrever imediatamente a contribuição do impulso como h(t-t_{0})u(t-t_{0}).

Resposta

y(t)= \begin{cases} 2e^{-t}-e^{-2t}, & 0\le t<\pi,\\[6pt] 2e^{-t}-e^{-2t}+e^{\pi-t}-e^{2\pi-2t}, & t\ge\pi. \end{cases}]

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