Questão 4. (20 pontos) Resolva o seguinte problema de valor inicial e explique a razão do aspecto do gráfico que você obteve
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial com impulso
com condições iniciais
O que é pedido:
- Resolver a equação para todo
, ou seja, encontrar explícita. - Explicar a razão do aspecto do gráfico obtido (o que acontece em
e depois dele, comportamento assintótico, etc.).
Passo 2
Entendendo o papel da função delta
.
- A função
representa um impulso concentrado em com integral unitária:
- Intuitivamente, esse termo não produz salto na própria função
(o impulso age sobre derivadas), mas pode produzir um salto em — isto é, a derivada pode sofrer uma descontinuidade no instante do impulso. - Para obter a condição de salto, integraráremos a equação em torno de
(feito no passo seguinte).
Passo 3
Derivando a condição de continuidade e a condição de salto em
.
Integro a equação em um intervalo pequeno e depois faço
:
Integro a equação em um intervalo pequeno
Avalio cada termo:
-
-
Mas quando isso tende a se for finita e contínua. -
quando . -
Tomando o limiteobtemos:
e também
Ou seja:
é contínua em
e
sofre um salto de altura
.
Passo 4
Resolver a equação homogênea (método básico que vale em qualquer intervalo sem o impulso).
Considere a equação homogênea associada
Considere a equação homogênea associada
Procuramos soluções da forma
. A equação característica é
Resolvo-a:
Logo a solução geral da homogênea é
onde
são constantes que serão determinadas por condições iniciais ou de acoplamento.
Passo 5
Solução para
Imponho as condições iniciais
e
.
Calculo e
:
Calculo
Resolvo o sistema
Somando as duas equações obtém-se
.
Portanto
E sua derivada é
Passo 6
Valores no instante imediatamente anterior a
(quantidades necessárias para “inicializar” a solução depois do impulso).
Calculo
Calculo
Passo 7
Solução para
As condições em
são:
onde usei a condição de salto
.
Escrevo e
em termos de
:
Escrevo
Para facilitar, chame
e
. Então o sistema é
Somando as duas equações para eliminar
:
Como
é muito pequeno, mas podemos simplificar observando que
— porém há uma conta mais direta: ao substituir
obtém-se
(essa simplificação resulta da álgebra direta; conferindo: com
a conta dá
). Logo
Portanto, para
,
Passo 8
Escrever a solução de forma compacta e interpretar como soma da solução livre mais a resposta ao impulso.
Reescrevo agrupando termos:
Reescrevo
Note que a primeira parte
é exatamente
estendida; os dois últimos termos
são a resposta ao impulso localizado em
. De forma mais elegante usando o passo unitário
,
Observação: a resposta ao impulso do sistema (impulso aplicado em
) é
para
. Assim a contribuição do impulso em
é
.
Passo 9
Explicação física e geométrica do aspecto do gráfico.
- Para
a solução é uma combinação de decaimentos exponenciais com taxas e . Isso dá uma curva suave e decrescente (doscilação não ocorre porque raízes são reais negativas). - Em
ocorre o impulso: permanece contínua nesse instante (não há salto no valor), mas a derivada salta para cima em . Graficamente isso aparece como uma mudança brusca na inclinação da curva (uma “quina” ou canto na tangente), não como uma descontinuidade no próprio . - Para
a solução segue novamente uma combinação de exponenciais decrescentes, mas com coeficientes ajustados devido ao impulso — isto é, a curva depois de é outra função exponencial que decai para quando . - Como consequência, o gráfico tem estas características:
- Trajetória suave decaindo até
. - No instante
: curva contínua, porém a tangente sofre uma mudança instantânea (salto na inclinação). - Para
: nova trajetória que volta a decair exponencialmente para .
- Trajetória suave decaindo até
- Assintoticamente,
quando , porque ambas as exponenciais e tendem a zero.
Passo 10
Resumo final (fórmula pronta para usar na prova) e dica prática.
- Fórmula final em peça única (útil para conferir rapidamente):
onde
é o degrau unitário.
- Dica prática: ao ver um impulso
em EDO linear, lembre-se sempre de integrar ao redor de para obter a condição de salto; em equações de segunda ordem com coeficientes constantes esse salto normalmente aparece em (não em ). Além disso, conhecer a resposta ao impulso do sistema permite escrever imediatamente a contribuição do impulso como .