Questão 1. (30 pontos) Encontre as transformadas inversas das seguintes funções
(10 pontos)
F(s)=\frac{1}{s^{3}\left(s^{2}+4\right)}
Passo 1
O enunciado pede explicitamente: encontrar a transformada inversa da função
F(s)=\frac{1}{s^{3}\left(s^{2}+4\right)}.
Ou seja, encontrar f(t)=\mathcal{L}^{-1}\{F(s)\} para t\ge 0.
Informações dadas:
A função F(s) é uma função racional em s com denominador s^{3}(s^{2}+4).
Não há termos no numerador além de 1.
O que se pede: calcular f(t) de forma explícita.
Passo 2
Plano de ataque (sem resolver ainda): como F(s) é uma razão de polinômios e o grau do denominador (5) é maior que o do numerador (0), vamos usar decomposição em frações parciais. Esse é o caminho natural para aplicar a transformada inversa termo a termo, porque já conhecemos inversas de frações simples como 1/s, 1/s^{n} e s/(s^{2}+a^{2}).
Forma geral da decomposição: para fatores s^{3} (raiz em zero de multiplicidade 3) e s^{2}+4 (quadrático irreduzível), tomamos
Lembrando as transformadas de Laplace usuais (e suas inversas), com explicação:
Para a função constante 1 temos \mathcal{L}\{1\}=\dfrac{1}{s}. Portanto \mathcal{L}^{-1}\{\dfrac{1}{s}\}=1.
Para potências de t: \mathcal{L}\{t^{n}\}=\dfrac{n!}{s^{n+1}} para inteiro n\ge 0. Invertendo, \mathcal{L}^{-1}\{\dfrac{1}{s^{n+1}}\}=\dfrac{t^{n}}{n!}.
Exemplo concreto: para n=2, \mathcal{L}\{t^{2}\}=\dfrac{2}{s^{3}}, então \mathcal{L}^{-1}\{\dfrac{1}{s^{3}}\}=\dfrac{t^{2}}{2}.
Para os senos e cossenos: \mathcal{L}\{\cos(at)\}=\dfrac{s}{s^{2}+a^{2}} e \mathcal{L}\{\sin(at)\}=\dfrac{a}{s^{2}+a^{2}}. Logo \mathcal{L}^{-1}\{\dfrac{s}{s^{2}+a^{2}}\}=\cos(at).
Aqui, no termo \dfrac{s}{s^{2}+4} temos a^{2}=4, então a=2 e \mathcal{L}^{-1}\{\dfrac{s}{s^{2}+4}\}=\cos(2t).