Questão 1. (30 pontos) Encontre as transformadas inversas das seguintes funções
(10 pontos)
F(s)=\frac{1}{s^{3}\left(s^{2}+4\right)}

Passo 1

O enunciado pede explicitamente: encontrar a transformada inversa da função
F(s)=\frac{1}{s^{3}\left(s^{2}+4\right)}.
Ou seja, encontrar f(t)=\mathcal{L}^{-1}\{F(s)\} para t\ge 0.
Informações dadas:
  • A função F(s) é uma função racional em s com denominador s^{3}(s^{2}+4).
  • Não há termos no numerador além de 1.
O que se pede: calcular f(t) de forma explícita.

Passo 2

Plano de ataque (sem resolver ainda): como F(s) é uma razão de polinômios e o grau do denominador (5) é maior que o do numerador (0), vamos usar decomposição em frações parciais. Esse é o caminho natural para aplicar a transformada inversa termo a termo, porque já conhecemos inversas de frações simples como 1/s, 1/s^{n} e s/(s^{2}+a^{2}).
Forma geral da decomposição: para fatores s^{3} (raiz em zero de multiplicidade 3) e s^{2}+4 (quadrático irreduzível), tomamos
\frac{1}{s^{3}(s^{2}+4)}=\frac{A}{s}+\frac{B}{s^{2}}+\frac{C}{s^{3}}+\frac{Ds+E}{s^{2}+4},
onde A,B,C,D,E são constantes a determinar.

Passo 3

Multiplicando ambos os lados por s^{3}(s^{2}+4) obtemos a identidade polinomial
1=A\,s^{2}(s^{2}+4)+B\,s(s^{2}+4)+C(s^{2}+4)+(Ds+E)s^{3}.
Agora expandimos cada termo para agrupar por potências de s.
Expandindo:
A\,s^{2}(s^{2}+4)=A(s^{4}+4s^{2}),
B\,s(s^{2}+4)=B(s^{3}+4s),
C(s^{2}+4)=C s^{2}+4C,
(Ds+E)s^{3}=D s^{4}+E s^{3}.
Somando tudo:
1=(A+D)s^{4}+(B+E)s^{3}+(4A+C)s^{2}+4B\,s+4C.
Como o lado esquerdo é o polinômio constante 1, os coeficientes das potências de s no lado direito devem satisfazer o sistema
\begin{cases} \text{coef. }s^{4}: & A+D=0,\\[4pt] \text{coef. }s^{3}: & B+E=0,\\[4pt] \text{coef. }s^{2}: & 4A+C=0,\\[4pt] \text{coef. }s^{1}: & 4B=0,\\[4pt] \text{coef. }s^{0}: & 4C=1. \end{cases}]

Passo 4

Resolver o sistema passo a passo:
Da equação 4B=0 vem
B=0.
Da equação 4C=1 vem
C=\frac{1}{4}.
Da equação 4A+C=0 substituindo C obtemos
4A+\frac{1}{4}=0 \quad\Rightarrow\quad 4A=-\frac{1}{4} \quad\Rightarrow\quad A=-\frac{1}{16}.
Da equação A+D=0 vem
D=-A=\frac{1}{16}.
Da equação B+E=0 com B=0 segue
E=0.
Portanto os coeficientes são
A=-\frac{1}{16},\quad B=0,\quad C=\frac{1}{4},\quad D=\frac{1}{16},\quad E=0.

Passo 5

Substituindo na decomposição obtemos
\frac{1}{s^{3}(s^{2}+4)}=-\frac{1}{16}\cdot\frac{1}{s}+0\cdot\frac{1}{s^{2}}+\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{s^{3}}+\frac{1}{16}\cdot\frac{s}{s^{2}+4}.
Eliminando o termo nulo e escrevendo de forma clara:
F(s)=-\frac{1}{16}\,\frac{1}{s}+\frac{1}{4}\,\frac{1}{s^{3}}+\frac{1}{16}\,\frac{s}{s^{2}+4}.

Passo 6

Lembrando as transformadas de Laplace usuais (e suas inversas), com explicação:
  • Para a função constante 1 temos \mathcal{L}\{1\}=\dfrac{1}{s}. Portanto \mathcal{L}^{-1}\{\dfrac{1}{s}\}=1.
  • Para potências de t: \mathcal{L}\{t^{n}\}=\dfrac{n!}{s^{n+1}} para inteiro n\ge 0. Invertendo, \mathcal{L}^{-1}\{\dfrac{1}{s^{n+1}}\}=\dfrac{t^{n}}{n!}.
    Exemplo concreto: para n=2, \mathcal{L}\{t^{2}\}=\dfrac{2}{s^{3}}, então \mathcal{L}^{-1}\{\dfrac{1}{s^{3}}\}=\dfrac{t^{2}}{2}.
  • Para os senos e cossenos: \mathcal{L}\{\cos(at)\}=\dfrac{s}{s^{2}+a^{2}} e \mathcal{L}\{\sin(at)\}=\dfrac{a}{s^{2}+a^{2}}. Logo \mathcal{L}^{-1}\{\dfrac{s}{s^{2}+a^{2}}\}=\cos(at).
Aqui, no termo \dfrac{s}{s^{2}+4} temos a^{2}=4, então a=2 e \mathcal{L}^{-1}\{\dfrac{s}{s^{2}+4}\}=\cos(2t).

Passo 7

Aplicando as inversas termo a termo:
  • \mathcal{L}^{-1}\left\{-\dfrac{1}{16}\cdot\frac{1}{s}\right\}=-\dfrac{1}{16}\cdot 1=-\dfrac{1}{16}.
  • \mathcal{L}^{-1}\left\{\dfrac{1}{4}\cdot\frac{1}{s^{3}}\right\}=\dfrac{1}{4}\cdot\frac{t^{2}}{2}=\dfrac{t^{2}}{8}.
  • \mathcal{L}^{-1}\left\{\dfrac{1}{16}\cdot\frac{s}{s^{2}+4}\right\}=\dfrac{1}{16}\cos(2t).
Somando os termos obtemos a função no domínio do tempo:
f(t)=-\frac{1}{16}+\frac{t^{2}}{8}+\frac{1}{16}\cos(2t),\qquad t\ge 0.
Uma forma alternativa de escrever (recolhendo \tfrac{1}{16}):
f(t)=\frac{t^{2}}{8}+\frac{1}{16}\bigl(\cos(2t)-1\bigr).

Resposta

f(t)=-\frac{1}{16}+\frac{t^{2}}{8}+\frac{1}{16}\cos(2t)

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