Questão 1 (2.0 pontos)
Indique se a afirmativa é falsa ou verdadeira.Se for verdadeira,justifique.Caso contrário,explique ou dê um contra-exemplo.
(0.5 pontos)Se \overrightarrow{A B}=\overrightarrow{C D} e |\overrightarrow{C D}|=|\overrightarrow{E F}|,entāo \overrightarrow{A B}=\overrightarrow{E F}
Passo 1
O enunciado pede que eu indique se a afirmativa é verdadeira ou falsa e justifique (ou dê contraexemplo). As informações dadas são:
\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}.
|\overrightarrow{CD}|=|\overrightarrow{EF}|.
A pergunta é: a partir dessas duas igualdades segue que \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{EF}?
Passo 2
Vou lembrar bem o que significam as igualdades entre vetores e as igualdades entre comprimentos (normas), porque isso é o que vai guiar a razão lógica.
Definição de igualdade de vetores: \overrightarrow{u}=\overrightarrow{v} significa que os vetores têm a mesma direção, o mesmo sentido e o mesmo módulo. Em coordenadas, se \overrightarrow{u}=(u_1,u_2) e \overrightarrow{v}=(v_1,v_2), então \overrightarrow{u}=\overrightarrow{v} acontece exatamente quando u_1=v_1 e u_2=v_2.
Definição de módulo (comprimento): |\overrightarrow{u}| é um número não negativo que mede o tamanho do vetor. Em coordenadas |(u_1,u_2)|=\sqrt{u_1^2+u_2^2}. Ter |\overrightarrow{u}|=|\overrightarrow{v}| significa apenas que os comprimentos são iguais; os vetores podem ter direções diferentes.
Portanto, igualdade de vetores é uma condição mais forte (direção + sentido + módulo) enquanto igualdade de módulos só garante o mesmo tamanho.
Passo 3
Análise lógica do enunciado: sabemos que \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}. Isso já implica que |\overrightarrow{AB}|=|\overrightarrow{CD}| e que \overrightarrow{AB} e \overrightarrow{CD} têm a mesma direção e sentido. Separadamente sabemos que |\overrightarrow{CD}|=|\overrightarrow{EF}|, isto é, \overrightarrow{EF} tem o mesmo comprimento de \overrightarrow{CD}. Porém, nada foi afirmado sobre a direção ou o sentido de \overrightarrow{EF}. Logo, a informação disponível não garante que \overrightarrow{EF} tenha a mesma direção e sentido de \overrightarrow{AB}. Por isso a implicação pedida é, à primeira vista, duvidosa: igual magnitude não implica igual vetor.
Para ter certeza final, vou dar um contraexemplo concreto e numérico — é o jeito mais direto de provar que uma afirmação universal é falsa.
Passo 4
Construção do contraexemplo (escolha de pontos no plano, simples de calcular):
e claramente \langle 1,0\rangle \neq \langle 0,1\rangle. Portanto, mesmo com as duas hipóteses verdadeiras, não se obtém \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{EF}.
Passo 6
Conclusão do argumento: o contraexemplo mostra que as hipóteses \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD} e |\overrightarrow{CD}|=|\overrightarrow{EF}|
podem ser simultaneamente verdadeiras sem que \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{EF} seja verdade. Assim, a afirmativa do enunciado é falsa.
Observação final amiga: a ideia intuitiva é lembrar que igualdade de comprimento não dá informação sobre direção; para garantir \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{EF} seria preciso também saber que \overrightarrow{EF} tem a mesma direção e sentido (por exemplo, se soubéssemos que \overrightarrow{EF} é paralelo e tem mesmo sentido que \overrightarrow{CD}, aí sim seria suficiente).