Questão 1 (2.0 pontos)
Indique se a afirmativa é falsa ou verdadeira.Se for verdadeira,justifique.Caso contrário,explique ou dê um contra-exemplo.
(0.5 pontos)Se \overrightarrow{A B}=\overrightarrow{C D} e |\overrightarrow{C D}|=|\overrightarrow{E F}|,entāo \overrightarrow{A B}=\overrightarrow{E F}

Passo 1

O enunciado pede que eu indique se a afirmativa é verdadeira ou falsa e justifique (ou dê contraexemplo). As informações dadas são:
  • \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}.
  • |\overrightarrow{CD}|=|\overrightarrow{EF}|.
A pergunta é: a partir dessas duas igualdades segue que \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{EF}?

Passo 2

Vou lembrar bem o que significam as igualdades entre vetores e as igualdades entre comprimentos (normas), porque isso é o que vai guiar a razão lógica.
  • Definição de igualdade de vetores: \overrightarrow{u}=\overrightarrow{v} significa que os vetores têm a mesma direção, o mesmo sentido e o mesmo módulo. Em coordenadas, se \overrightarrow{u}=(u_1,u_2) e \overrightarrow{v}=(v_1,v_2), então \overrightarrow{u}=\overrightarrow{v} acontece exatamente quando u_1=v_1 e u_2=v_2.
  • Definição de módulo (comprimento): |\overrightarrow{u}| é um número não negativo que mede o tamanho do vetor. Em coordenadas |(u_1,u_2)|=\sqrt{u_1^2+u_2^2}. Ter |\overrightarrow{u}|=|\overrightarrow{v}| significa apenas que os comprimentos são iguais; os vetores podem ter direções diferentes.
Portanto, igualdade de vetores é uma condição mais forte (direção + sentido + módulo) enquanto igualdade de módulos só garante o mesmo tamanho.

Passo 3

Análise lógica do enunciado: sabemos que \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}. Isso já implica que |\overrightarrow{AB}|=|\overrightarrow{CD}| e que \overrightarrow{AB} e \overrightarrow{CD} têm a mesma direção e sentido. Separadamente sabemos que |\overrightarrow{CD}|=|\overrightarrow{EF}|, isto é, \overrightarrow{EF} tem o mesmo comprimento de \overrightarrow{CD}. Porém, nada foi afirmado sobre a direção ou o sentido de \overrightarrow{EF}. Logo, a informação disponível não garante que \overrightarrow{EF} tenha a mesma direção e sentido de \overrightarrow{AB}. Por isso a implicação pedida é, à primeira vista, duvidosa: igual magnitude não implica igual vetor.
Para ter certeza final, vou dar um contraexemplo concreto e numérico — é o jeito mais direto de provar que uma afirmação universal é falsa.

Passo 4

Construção do contraexemplo (escolha de pontos no plano, simples de calcular):
  • Escolho A=(0,0) e B=(1,0). Então
    \overrightarrow{AB}=B-A=(1,0)-(0,0)=\langle 1,0\rangle.
  • Escolho C=(2,2) e D=(3,2). Então
    \overrightarrow{CD}=D-C=(3,2)-(2,2)=\langle 1,0\rangle.
    Observação: com essas escolhas \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}=\langle 1,0\rangle, ou seja, a primeira hipótese do enunciado está satisfeita.
  • Agora escolho E=(0,0) e F=(0,1). Então
    \overrightarrow{EF}=F-E=(0,1)-(0,0)=\langle 0,1\rangle.

Passo 5

Calcular os comprimentos (módulos) para verificar a segunda hipótese e comparar vetores:
  • Comprimento de \overrightarrow{CD}: |\overrightarrow{CD}|=|\langle 1,0\rangle|=\sqrt{1^2+0^2}=\sqrt{1}=1.
  • Comprimento de \overrightarrow{EF}: |\overrightarrow{EF}|=|\langle 0,1\rangle|=\sqrt{0^2+1^2}=\sqrt{1}=1.
Logo |\overrightarrow{CD}|=|\overrightarrow{EF}|, então a segunda hipótese também está satisfeita pelo exemplo.
Mas os vetores são diferentes:
\overrightarrow{AB}=\langle 1,0\rangle\quad\text{e}\quad \overrightarrow{EF}=\langle 0,1\rangle,
e claramente \langle 1,0\rangle \neq \langle 0,1\rangle. Portanto, mesmo com as duas hipóteses verdadeiras, não se obtém \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{EF}.

Passo 6

Conclusão do argumento: o contraexemplo mostra que as hipóteses
\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD} e |\overrightarrow{CD}|=|\overrightarrow{EF}|
podem ser simultaneamente verdadeiras sem que \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{EF} seja verdade. Assim, a afirmativa do enunciado é falsa.
Observação final amiga: a ideia intuitiva é lembrar que igualdade de comprimento não dá informação sobre direção; para garantir \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{EF} seria preciso também saber que \overrightarrow{EF} tem a mesma direção e sentido (por exemplo, se soubéssemos que \overrightarrow{EF} é paralelo e tem mesmo sentido que \overrightarrow{CD}, aí sim seria suficiente).

Resposta

Falsa.

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