Seja a forma bilinear do \mathbb{R}^{2}, f(u, v)=x_{1} y_{1}+2 x_{1} y_{2}-x_{2} y_{1}+x_{2} y_{2}. Determine a matriz da forma bilinear em relação à base \{(2,3),(4,1)\}.

Passo 1

Vou deixar claro o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dado: a forma bilinear em \mathbb{R}^2
f(u,v)=x_{1}y_{1}+2x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1}+x_{2}y_{2},
onde u=(x_{1},x_{2}) e v=(y_{1},y_{2}).
  • Dado: a base pedida é \mathcal{B}=\{(2,3),(4,1)\}. Peguei esses vetores do enunciado.
  • Pedido: determinar a matriz da forma bilinear f em relação à base \mathcal{B}.

Passo 2

Entender como a forma bilinear se relaciona com uma matriz na base canônica (lição rápida).
Para vetores u=(x_{1},x_{2}) e v=(y_{1},y_{2}) escritos como colunas em coordenadas canônicas, existe uma matriz A tal que
f(u,v)=u^{T} A v.
Aqui u^{T}=(x_{1}\; x_{2}) e v=\begin{pmatrix}y_{1}\y_{2}\end{pmatrix}. Cada entrada a_{ij} de A multiplica x_{i}y_{j}.
Comparando com a expressão dada de f, associamos coeficientes:
  • coeficiente de x_{1}y_{1} é 1, logo a_{11}=1;
  • coeficiente de x_{1}y_{2} é 2, logo a_{12}=2;
  • coeficiente de x_{2}y_{1} é -1, logo a_{21}=-1;
  • coeficiente de x_{2}y_{2} é 1, logo a_{22}=1.
Portanto a matriz da forma na base canônica é
A=\begin{pmatrix}1 & 2 \\[4pt] -1 & 1\end{pmatrix}.]

Passo 3

Como passar para a base \mathcal{B}=\{b_{1},b_{2}\} com b_{1}=(2,3) e b_{2}=(4,1).
Formamos a matriz de mudança de base P cujas colunas são as coordenadas dos vetores de \mathcal{B} na base canônica:
P=\begin{pmatrix}2 & 4 \\[4pt] 3 & 1\end{pmatrix}.]

Passo 4

Fórmula para a matriz da forma bilinear na nova base.
Se A é a matriz em coordenadas canônicas e P tem colunas sendo os vetores da nova base na base canônica, então a matriz G da forma f na base \mathcal{B} é
G = P^{T} A P.
Raciocínio curto: se u_{\mathcal{B}} e v_{\mathcal{B}} são coordenadas em \mathcal{B}, então u_{\text{can}}=P u_{\mathcal{B}} e v_{\text{can}}=P v_{\mathcal{B}}, e
f(u,v)=u_{\text{can}}^{T} A v_{\text{can}} = u_{\mathcal{B}}^{T} (P^{T} A P) v_{\mathcal{B}}.

Passo 5

Calcular A P passo a passo (multiplicação de matriz por matriz, fazendo coluna a coluna).
Multiplicando A por cada coluna de P:
  • Para a primeira coluna b_{1}=\begin{pmatrix}2\\\ 3\end{pmatrix},
A b_{1}=\begin{pmatrix}1 & 2 \\[4pt] -1 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2\\[4pt]3\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1\cdot2+2\cdot3\\[4pt]-1\cdot2+1\cdot3\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}2+6\\[4pt]-2+3\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}8\\[4pt]1\end{pmatrix}.
  • Para a segunda coluna b_{2}=\begin{pmatrix}4\\\ 1\end{pmatrix},
A b_{2}=\begin{pmatrix}1 & 2 \\[4pt] -1 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}4\\[4pt]1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1\cdot4+2\cdot1\\[4pt]-1\cdot4+1\cdot1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}4+2\\[4pt]-4+1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}6\\[4pt]-3\end{pmatrix}.
Logo
A P = \begin{pmatrix}8 & 6 \\[4pt] 1 & -3\end{pmatrix}.]

Passo 6

Agora calculamos G=P^{T}(A P). Primeiro escrevo P^{T}:
P^{T}=\begin{pmatrix}2 & 3 \\[4pt] 4 & 1\end{pmatrix}.
Multiplicamos P^{T} por A P. Faço entrada a entrada usando produtos escalares das linhas de P^{T} com as colunas de A P.
  • Entrada (1,1):
G_{11}=(2,3)\cdot(8,1)=2\cdot8+3\cdot1=16+3=19.
  • Entrada (1,2):
G_{12}=(2,3)\cdot(6,-3)=2\cdot6+3\cdot(-3)=12-9=3.
  • Entrada (2,1):
G_{21}=(4,1)\cdot(8,1)=4\cdot8+1\cdot1=32+1=33.
  • Entrada (2,2):
G_{22}=(4,1)\cdot(6,-3)=4\cdot6+1\cdot(-3)=24-3=21.
Portanto
G=\begin{pmatrix}19 & 3 \\[4pt] 33 & 21\end{pmatrix}.]

Passo 7

Breve comentário final (ânimo): pronto — a matriz foi obtida aplicando a fórmula de mudança de base e fazendo as multiplicações com calma. Se na prova pedirem f(b_i,b_j), pode calcular diretamente como verificado pelos elementos de G: por exemplo f(b_{1},b_{2})=3, f(b_{2},b_{1})=33, etc. Vai dar tudo certo — respira e segue!

Resposta

\begin{pmatrix}19 & 3 \\[4pt] 33 & 21\end{pmatrix}]

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