Seja a forma bilinear do
. Determine a matriz da forma bilinear em relação à base
.
Passo 1
Vou deixar claro o que o enunciado dá e o que pede.
- Dado: a forma bilinear em
onde
e
.
- Dado: a base pedida é
. Peguei esses vetores do enunciado. - Pedido: determinar a matriz da forma bilinear
em relação à base .
Passo 2
Entender como a forma bilinear se relaciona com uma matriz na base canônica (lição rápida).
Para vetores
e
escritos como colunas em coordenadas canônicas, existe uma matriz
tal que
Aqui
e
. Cada entrada
de
multiplica
.
Comparando com a expressão dada de
, associamos coeficientes:
- coeficiente de
é , logo ; - coeficiente de
é , logo ; - coeficiente de
é , logo ; - coeficiente de
é , logo .
Portanto a matriz da forma na base canônica é
Passo 3
Como passar para a base
com
e
.
Formamos a matriz de mudança de base
cujas colunas são as coordenadas dos vetores de
na base canônica:
Passo 4
Fórmula para a matriz da forma bilinear na nova base.
Se
é a matriz em coordenadas canônicas e
tem colunas sendo os vetores da nova base na base canônica, então a matriz
da forma
na base
é
Raciocínio curto: se
e
são coordenadas em
, então
e
, e
Passo 5
Calcular
passo a passo (multiplicação de matriz por matriz, fazendo coluna a coluna).
Multiplicando
por cada coluna de
:
- Para a primeira coluna
,
- Para a segunda coluna
,
Logo
Passo 6
Agora calculamos
. Primeiro escrevo
:
Multiplicamos
por
. Faço entrada a entrada usando produtos escalares das linhas de
com as colunas de
.
- Entrada
:
- Entrada
:
- Entrada
:
- Entrada
:
Portanto
Passo 7
Breve comentário final (ânimo): pronto — a matriz foi obtida aplicando a fórmula de mudança de base e fazendo as multiplicações com calma. Se na prova pedirem
, pode calcular diretamente como verificado pelos elementos de
: por exemplo
,
, etc. Vai dar tudo certo — respira e segue!