Questão 1 (2.0 pontos)
Indique se a afirmativa é falsa ou verdadeira.Se for verdadeira,justifique.Caso contrário,explique ou dê um contra-exemplo.
(0.5 pontos)Se |\overrightarrow{A B}|=|\overrightarrow{C D}|,então \overrightarrow{A B}=\overrightarrow{C D}

Passo 1

O enunciado pede que a gente diga se a afirmativa abaixo é verdadeira ou falsa. O que é dado:
  • Dado: |\overrightarrow{A B}| = |\overrightarrow{C D}|.
    O que se pede:
  • Indicar se a afirmação "então \overrightarrow{A B} = \overrightarrow{C D}" é verdadeira ou falsa.
    Observação: aqui só foi afirmada a igualdade dos módulos (comprimentos) dos vetores; nada foi dito sobre direção nem sentido.

Passo 2

Lembrete importante (definição usada na resolução). Dois vetores \vec{u} e \vec{v} são iguais se, e somente se, tiverem as mesmas componentes (ou seja, mesma direção, mesmo sentido e mesmo comprimento). Em notação de componentes:
\vec{u}=(u_x,u_y),\qquad \vec{v}=(v_x,v_y),
e
\vec{u}=\vec{v}\quad\iff\quad u_x=v_x\\ \text{e}\\ u_y=v_y.
Ter apenas |\vec{u}|=|\vec{v}| (mesmo módulo) não garante que u_x=v_x e u_y=v_y; falta informação sobre direção e sentido.

Passo 3

Fórmula do módulo (para lembrar como comparar comprimentos): dado \vec{w}=(w_x,w_y),
|\vec{w}|=\sqrt{w_x^2+w_y^2}.
Assim, vetores diferentes podem ter exatamente o mesmo módulo se suas componentes satisfizerem w_x^2+w_y^2 iguais, mesmo que os sinais ou posições sejam distintos.

Passo 4

Estratégia para a prova no exame: para mostrar que a afirmativa é falsa, basta fornecer um contraexemplo concreto — isto é, dois vetores com mesmo módulo mas diferentes componentes (portanto diferentes vetores). Vou construir um contraexemplo simples no plano.

Passo 5

Escolha dos pontos (contraexemplo):
  • Seja A=(0,0) e B=(1,0). Então
\overrightarrow{A B}=(1,0).
  • Seja C=(0,0) e D=(-1,0). Então
\overrightarrow{C D}=(-1,0).

Passo 6

Calcular os módulos e comparar vetores:
  • Módulos:
|\overrightarrow{A B}|=\sqrt{1^2+0^2}=1, \qquad |\overrightarrow{C D}|=\sqrt{(-1)^2+0^2}=1.
Logo |\overrightarrow{A B}|=|\overrightarrow{C D}|.
  • Comparação das componentes:
\overrightarrow{A B}=(1,0)\neq(-1,0)=\overrightarrow{C D},
pois os componentes x são diferentes ( 1\neq -1). Portanto os vetores não são iguais, apesar de terem o mesmo comprimento.

Passo 7

Conclusão didática: a igualdade dos módulos não implica igualdade dos vetores. Para que \overrightarrow{A B}=\overrightarrow{C D} fosse verdadeira era necessário também que as direções e os sentidos coincidissem (ou, em componentes, que todos os componentes fossem iguais). Na prova, quando uma afirmação relaciona apenas módulos, fique atento — geralmente basta um contraexemplo com vetores de mesma norma e sentidos diferentes (ou direções diferentes) para refutar.

Resposta

Falsa.

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