Questão 1 (2.0 pontos)
Indique se a afirmativa é falsa ou verdadeira.Se for verdadeira,justifique.Caso contrário,explique ou dê um contra-exemplo.
(0.5 pontos)Se |\overrightarrow{A B}|=|\overrightarrow{C D}|,então \overrightarrow{A B}=\overrightarrow{C D}.
Passo 1
O enunciado pede que a gente diga se a afirmativa abaixo é verdadeira ou falsa. O que é dado:
Dado: |\overrightarrow{A B}| = |\overrightarrow{C D}|.
O que se pede:
Indicar se a afirmação "então \overrightarrow{A B} = \overrightarrow{C D}" é verdadeira ou falsa.
Observação: aqui só foi afirmada a igualdade dos módulos (comprimentos) dos vetores; nada foi dito sobre direção nem sentido.
Passo 2
Lembrete importante (definição usada na resolução). Dois vetores \vec{u} e \vec{v} são iguais se, e somente se, tiverem as mesmas componentes (ou seja, mesma direção, mesmo sentido e mesmo comprimento). Em notação de componentes:
Ter apenas |\vec{u}|=|\vec{v}| (mesmo módulo) não garante que u_x=v_x e u_y=v_y; falta informação sobre direção e sentido.
Passo 3
Fórmula do módulo (para lembrar como comparar comprimentos): dado \vec{w}=(w_x,w_y),
|\vec{w}|=\sqrt{w_x^2+w_y^2}.
Assim, vetores diferentes podem ter exatamente o mesmo módulo se suas componentes satisfizerem w_x^2+w_y^2 iguais, mesmo que os sinais ou posições sejam distintos.
Passo 4
Estratégia para a prova no exame: para mostrar que a afirmativa é falsa, basta fornecer um contraexemplo concreto — isto é, dois vetores com mesmo módulo mas diferentes componentes (portanto diferentes vetores). Vou construir um contraexemplo simples no plano.
pois os componentes x são diferentes (1\neq -1). Portanto os vetores não são iguais, apesar de terem o mesmo comprimento.
Passo 7
Conclusão didática: a igualdade dos módulos não implica igualdade dos vetores. Para que \overrightarrow{A B}=\overrightarrow{C D} fosse verdadeira era necessário também que as direções e os sentidos coincidissem (ou, em componentes, que todos os componentes fossem iguais). Na prova, quando uma afirmação relaciona apenas módulos, fique atento — geralmente basta um contraexemplo com vetores de mesma norma e sentidos diferentes (ou direções diferentes) para refutar.