Qual a forma bilinear simétrica que dá origem à forma quadrática do \mathbb{R}^{3} definida por
q\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)={x_{1}}^{2}+{x_{2}}^{2}+x_{3}^{2}-2 x_{1} x_{2}+4 x_{1} x_{3}-x_{2} x_{3}

Passo 1

O enunciado fornece a forma quadrática q:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R} dada por
q\left(x_{1},x_{2},x_{3}\right)={x_{1}}^{2}+{x_{2}}^{2}+x_{3}^{2}-2 x_{1} x_{2}+4 x_{1} x_{3}-x_{2} x_{3}.
A pergunta é: achar uma forma bilinear simétrica B:\mathbb{R}^3\times\mathbb{R}^3\to\mathbb{R} tal que, para todo x\in\mathbb{R}^3,
q(x)=B(x,x).
Informações relevantes do enunciado (resumidas):
  • Os coeficientes dos termos quadráticos são 1 para x_{1}^{2},x_{2}^{2},x_{3}^{2}.
  • Os coeficientes dos termos mistos são -2 para x_{1}x_{2}, 4 para x_{1}x_{3} e -1 para x_{2}x_{3}.
  • A forma bilinear procurada deve ser simétrica e satisfazer q(x)=B(x,x).

Passo 2

Ideia e fórmula que vou usar (explicando passo a passo):
  • Para qualquer forma bilinear simétrica B associada a uma forma quadrática q vale a identidade de polarização (fórmula de recuperação):
B(u,v)=\tfrac{1}{2}\bigl(q(u+v)-q(u)-q(v)\bigr)\quad\text{para todo }u,v\in\mathbb{R}^3.
Explicação intuitiva: q contém termos quadráticos e mistos. Ao calcular q(u+v) aparecem termos q(u),q(v) e dois vezes os termos mistos B(u,v); isolando e dividindo por 2 recupera-se B(u,v). Essa é uma receita direta e segura para achar B.
Outra forma prática: escrever q(x)=x^{T}Ax com A simétrica; então B(u,v)=u^{T}Av. As entradas a_{ii} de A são os coeficientes dos x_i^2 e as entradas a_{ij} com i\neq j satisfazem 2a_{ij}= coeficiente de x_i x_j em q.
Vou aplicar ambas as ideias (polarização e a regra dos coeficientes) para ficar bem didático.

Passo 3

Calcular as entradas da matriz simétrica A=(a_{ij}) associada a q usando a regra 2a_{ij}= coeficiente de x_i x_j (para i\neq j) e a_{ii}= coeficiente de x_i^2.
  • Diagonais:
a_{11}=1,\qquad a_{22}=1,\qquad a_{33}=1.
  • Off-diagonais:
    coeficiente de x_{1}x_{2} é -2, logo
2a_{12}=-2\quad\Rightarrow\quad a_{12}=-1.
coeficiente de x_{1}x_{3} é 4, logo
2a_{13}=4\quad\Rightarrow\quad a_{13}=2.
coeficiente de x_{2}x_{3} é -1, logo
2a_{23}=-1\quad\Rightarrow\quad a_{23}=-\tfrac{1}{2}.
Como A é simétrica, a_{21}=a_{12}, a_{31}=a_{13}, a_{32}=a_{23}. Portanto a matriz A é
A=\begin{pmatrix} 1 & -1 & 2\\[4pt] -1 & 1 & -\tfrac{1}{2}\\[4pt] 2 & -\tfrac{1}{2} & 1 \end{pmatrix}.]

Passo 4

A forma bilinear simétrica B pode ser escrita como produto matricial:
B(u,v)=u^{T}Av,
onde u=(u_{1},u_{2},u_{3}) e v=(v_{1},v_{2},v_{3}). Vou expandir u^{T}Av em coordenadas para obter uma expressão explícita em termos das componentes.
Multiplicando e somando os termos obtemos:
\begin{aligned} B(u,v) &=1\cdot u_{1}v_{1}+(-1)\cdot u_{1}v_{2}+2\cdot u_{1}v_{3}\\[2pt] &\quad +(-1)\cdot u_{2}v_{1}+1\cdot u_{2}v_{2}+(-\tfrac{1}{2})\cdot u_{2}v_{3}\\[2pt] &\quad +2\cdot u_{3}v_{1}+(-\tfrac{1}{2})\cdot u_{3}v_{2}+1\cdot u_{3}v_{3}. \end{aligned}
Agrupando de modo a destacar a simetria (pares simétricos u_i v_j + u_j v_i):
B(u,v)=u_{1}v_{1}+u_{2}v_{2}+u_{3}v_{3}-(u_{1}v_{2}+u_{2}v_{1})+2(u_{1}v_{3}+u_{3}v_{1})-\tfrac{1}{2}(u_{2}v_{3}+u_{3}v_{2}).]

Passo 5

Verificação rápida de consistência: mostrar que B(x,x)=q(x). Usando a forma expandida,
\begin{aligned} B(x,x) &=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}-2x_{1}x_{2}+4x_{1}x_{3}-x_{2}x_{3}, \end{aligned}
pois os termos simétricos dobram os coeficientes mistos (por exemplo u_{1}v_{2}+u_{2}v_{1} vira 2x_{1}x_{2} quando u=v=x). Isso coincide exatamente com q(x), então a forma bilinear encontrada está correta.

Passo 6

Resumo final e forma explícita pronta para usar em prova: a matriz simétrica associada é
A=\begin{pmatrix} 1 & -1 & 2\\[4pt] -1 & 1 & -\tfrac{1}{2}\\[4pt] 2 & -\tfrac{1}{2} & 1 \end{pmatrix},
e a forma bilinear simétrica é, para u=(u_{1},u_{2},u_{3}) e v=(v_{1},v_{2},v_{3}),
B(u,v)=u^{T}Av = u_{1}v_{1}+u_{2}v_{2}+u_{3}v_{3}-(u_{1}v_{2}+u_{2}v_{1})+2(u_{1}v_{3}+u_{3}v_{1})-\tfrac{1}{2}(u_{2}v_{3}+u_{3}v_{2}).]

Resposta

B(u,v)=u^{T}\begin{pmatrix} 1 & -1 & 2\\[4pt] -1 & 1 & -\tfrac{1}{2}\\[4pt] 2 & -\tfrac{1}{2} & 1 \end{pmatrix}v
ou equivalentemente
B(u,v)=u_{1}v_{1}+u_{2}v_{2}+u_{3}v_{3}-(u_{1}v_{2}+u_{2}v_{1})+2(u_{1}v_{3}+u_{3}v_{1})-\tfrac{1}{2}(u_{2}v_{3}+u_{3}v_{2}).]

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