A pergunta é: achar uma forma bilinear simétrica B:\mathbb{R}^3\times\mathbb{R}^3\to\mathbb{R} tal que, para todo x\in\mathbb{R}^3,
q(x)=B(x,x).
Informações relevantes do enunciado (resumidas):
Os coeficientes dos termos quadráticos são 1 para x_{1}^{2},x_{2}^{2},x_{3}^{2}.
Os coeficientes dos termos mistos são -2 para x_{1}x_{2}, 4 para x_{1}x_{3} e -1 para x_{2}x_{3}.
A forma bilinear procurada deve ser simétrica e satisfazer q(x)=B(x,x).
Passo 2
Ideia e fórmula que vou usar (explicando passo a passo):
Para qualquer forma bilinear simétrica B associada a uma forma quadrática q vale a identidade de polarização (fórmula de recuperação):
B(u,v)=\tfrac{1}{2}\bigl(q(u+v)-q(u)-q(v)\bigr)\quad\text{para todo }u,v\in\mathbb{R}^3.
Explicação intuitiva: q contém termos quadráticos e mistos. Ao calcular q(u+v) aparecem termos q(u),q(v) e dois vezes os termos mistos B(u,v); isolando e dividindo por 2 recupera-se B(u,v). Essa é uma receita direta e segura para achar B.
Outra forma prática: escrever q(x)=x^{T}Ax com A simétrica; então B(u,v)=u^{T}Av. As entradas a_{ii} de A são os coeficientes dos x_i^2 e as entradas a_{ij} com i\neq j satisfazem 2a_{ij}= coeficiente de x_i x_j em q.
Vou aplicar ambas as ideias (polarização e a regra dos coeficientes) para ficar bem didático.
Passo 3
Calcular as entradas da matriz simétrica A=(a_{ij}) associada a q usando a regra 2a_{ij}= coeficiente de x_i x_j (para i\neq j) e a_{ii}= coeficiente de x_i^2.
Diagonais:
a_{11}=1,\qquad a_{22}=1,\qquad a_{33}=1.
Off-diagonais:
coeficiente de x_{1}x_{2} é -2, logo
pois os termos simétricos dobram os coeficientes mistos (por exemplo u_{1}v_{2}+u_{2}v_{1} vira 2x_{1}x_{2} quando u=v=x). Isso coincide exatamente com q(x), então a forma bilinear encontrada está correta.
Passo 6
Resumo final e forma explícita pronta para usar em prova: a matriz simétrica associada é