Questão 1 (2.0 pontos)
Indique se a afirmativa é falsa ou verdadeira.Se for verdadeira,justifique.Caso contrário,explique ou dê um contra-exemplo.
(0.5 pontos)
é ortogonal a
e
.
Indique se a afirmativa é falsa ou verdadeira.Se for verdadeira,justifique.Caso contrário,explique ou dê um contra-exemplo.
(0.5 pontos)
Passo 1
O enunciado pede que eu diga se a afirmativa é falsa ou verdadeira e, se for verdadeira, justifique; caso seja falsa, dê um contraexemplo. A afirmativa é: "
é ortogonal a
e
". As informações dadas são apenas os vetores
e
(assume‑se que são vetores em que o produto vetorial está definido, isto é, em
).
Portanto: decidir verdadeiro/falso e justificar por argumentos matemáticos (álgebra e/ou geometria).
Portanto: decidir verdadeiro/falso e justificar por argumentos matemáticos (álgebra e/ou geometria).
Passo 2
Vamos lembrar o que significa “ortogonal”. Dois vetores são ortogonais quando o produto escalar entre eles é zero. Então, para provar que
é ortogonal a
e a
basta mostrar as duas igualdades
Aqui a notação e as operações usadas são:
-
é o produto escalar (dot product) entre e ; -
é o produto vetorial (cross product) entre e .
Passo 3
Vou escrever a expressão do produto vetorial em coordenadas. Se
então
Esta fórmula vem da definição do determinante 3×3 associada ao produto vetorial; cada componente é uma combinação das outras componentes de
e
.
Passo 4
Agora calculo o produto escalar
expandindo componente a componente:
Agora observe que os termos se cancelam em pares:
-
aparece com sinal positivo e com sinal negativo; -
aparece com sinal negativo e com sinal positivo; -
aparece com sinal positivo e com sinal negativo.
Portanto, a soma é zero, isto é,
Passo 5
O mesmo raciocínio vale para
. Se fizer a expansão:
Agrupando termos percebe‑se que cada termo que surge aparece com sinal contrário em outro lugar (por exemplo
e
etc.), e a soma também é zero. Logo
Passo 6
Uma observação geométrica que ajuda a entender e decorar: o produto vetorial
tem magnitude
, onde
é o ângulo entre
e
, e sua direção é perpendicular ao plano determinado por
e
(seguindo a regra da mão direita). Sendo perpendicular ao plano que contém
e
, ele é ortogonal a ambos. Isto coincide com o resultado algébrico obtido acima.
Passo 7
Um exemplo numérico rápido para ver concretamente: tome
e
. Então
E
confirmando a ortogonalidade na prática.
Resposta
Verdadeira.