Questão 1 (2.0 pontos)
Indique se a afirmativa é falsa ou verdadeira.Se for verdadeira,justifique.Caso contrário,explique ou dê um contra-exemplo.
(0.5 pontos) \vec{u} \times \vec{v} é ortogonal a \vec{u} e \vec{v}

Passo 1

O enunciado pede que eu diga se a afirmativa é falsa ou verdadeira e, se for verdadeira, justifique; caso seja falsa, dê um contraexemplo. A afirmativa é: " \vec{u}\times\vec{v} é ortogonal a \vec{u} e \vec{v}". As informações dadas são apenas os vetores \vec{u} e \vec{v} (assume‑se que são vetores em que o produto vetorial está definido, isto é, em \mathbb{R}^3).
Portanto: decidir verdadeiro/falso e justificar por argumentos matemáticos (álgebra e/ou geometria).

Passo 2

Vamos lembrar o que significa “ortogonal”. Dois vetores são ortogonais quando o produto escalar entre eles é zero. Então, para provar que \vec{u}\times\vec{v} é ortogonal a \vec{u} e a \vec{v} basta mostrar as duas igualdades
\vec{u}\cdot(\vec{u}\times\vec{v})=0 \qquad\text{e}\qquad \vec{v}\cdot(\vec{u}\times\vec{v})=0.
Aqui a notação e as operações usadas são:
  • \vec{u}\cdot\vec{w} é o produto escalar (dot product) entre \vec{u} e \vec{w};
  • \vec{u}\times\vec{v} é o produto vetorial (cross product) entre \vec{u} e \vec{v}.

Passo 3

Vou escrever a expressão do produto vetorial em coordenadas. Se
\vec{u}=(u_1,u_2,u_3), \qquad \vec{v}=(v_1,v_2,v_3),
então
\vec{u}\times\vec{v}=\bigl(u_2v_3-u_3v_2,\;u_3v_1-u_1v_3,\;u_1v_2-u_2v_1\bigr).
Esta fórmula vem da definição do determinante 3×3 associada ao produto vetorial; cada componente é uma combinação das outras componentes de \vec{u} e \vec{v}.

Passo 4

Agora calculo o produto escalar \vec{u}\cdot(\vec{u}\times\vec{v}) expandindo componente a componente:
\begin{aligned} \vec{u}\cdot(\vec{u}\times\vec{v}) &=u_1(u_2v_3-u_3v_2)+u_2(u_3v_1-u_1v_3)+u_3(u_1v_2-u_2v_1)\\[4pt] &=u_1u_2v_3-u_1u_3v_2+u_2u_3v_1-u_1u_2v_3+u_3u_1v_2-u_2u_3v_1. \end{aligned}
Agora observe que os termos se cancelam em pares:
  • u_1u_2v_3 aparece com sinal positivo e com sinal negativo;
  • u_1u_3v_2 aparece com sinal negativo e com sinal positivo;
  • u_2u_3v_1 aparece com sinal positivo e com sinal negativo.
    Portanto, a soma é zero, isto é,
\vec{u}\cdot(\vec{u}\times\vec{v})=0.]

Passo 5

O mesmo raciocínio vale para \vec{v}\cdot(\vec{u}\times\vec{v}). Se fizer a expansão:
\begin{aligned} \vec{v}\cdot(\vec{u}\times\vec{v}) &=v_1(u_2v_3-u_3v_2)+v_2(u_3v_1-u_1v_3)+v_3(u_1v_2-u_2v_1)\\[4pt] &=v_1u_2v_3-v_1u_3v_2+v_2u_3v_1-v_2u_1v_3+v_3u_1v_2-v_3u_2v_1. \end{aligned}
Agrupando termos percebe‑se que cada termo que surge aparece com sinal contrário em outro lugar (por exemplo v_1u_2v_3 e -v_3u_2v_1 etc.), e a soma também é zero. Logo
\vec{v}\cdot(\vec{u}\times\vec{v})=0.]

Passo 6

Uma observação geométrica que ajuda a entender e decorar: o produto vetorial \vec{u}\times\vec{v} tem magnitude |\vec{u}\times\vec{v}|=|\vec{u}||\vec{v}|\sin\theta, onde \theta é o ângulo entre \vec{u} e \vec{v}, e sua direção é perpendicular ao plano determinado por \vec{u} e \vec{v} (seguindo a regra da mão direita). Sendo perpendicular ao plano que contém \vec{u} e \vec{v}, ele é ortogonal a ambos. Isto coincide com o resultado algébrico obtido acima.

Passo 7

Um exemplo numérico rápido para ver concretamente: tome \vec{u}=(1,0,0) e \vec{v}=(0,1,0). Então
\vec{u}\times\vec{v}=(0,0,1).
E
\vec{u}\cdot(\vec{u}\times\vec{v})=1\cdot0+0\cdot0+0\cdot1=0, \qquad \vec{v}\cdot(\vec{u}\times\vec{v})=0\cdot0+1\cdot0+0\cdot1=0,
confirmando a ortogonalidade na prática.

Resposta

Verdadeira.

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