Questão 3. (20 pontos) Mostre que os gráficos de
e
se interceptam em algum ponto no intervalo
.
Passo 1
Vamos resumir o que precisamos fazer: queremos mostrar que os gráficos das funções $ f(x) = 2^{x-2} $ e $ g(x) = \sqrt{x} $ se cruzam em algum ponto dentro do intervalo
. Para isso, vamos analisar os valores dessas funções nesse intervalo e ver se em algum ponto elas têm o mesmo valor. Vamos precisar entender um pouco sobre funções exponenciais e funções de raiz quadrada.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o valor de $ f(x) = 2^{x-2} $ nos extremos do intervalo.
Para $ x = 0 $:
Para $ x = 1 $:
Passo 3
Agora, vamos calcular o valor de $ g(x) = \sqrt{x} $ nos mesmos extremos do intervalo.
Para $ x = 0 $:
Para $ x = 1 $:
Passo 4
Vamos comparar os valores de $ f(x) $ e $ g(x) $ nos extremos para ver como elas se comportam.
Para $ x = 0 $:
Aqui, $ f(0) > g(0) $.
Para $ x = 1 $:
Aqui, $ f(1) < g(1) $.
Passo 5
Observamos que em $ x = 0 $, $ f(x) $ é maior que $ g(x) $ e em $ x = 1 $, $ f(x) $ é menor que $ g(x) $. Isso significa que as duas funções mudaram de posição relativa no intervalo
.
Passo 6
De acordo com o Teorema do Valor Intermediário, se uma função contínua assume valores maiores e menores em um intervalo, então ela deve assumir todos os valores entre esses extremos nesse intervalo. Como $ f(x) $ e $ g(x) $ são funções contínuas, existe pelo menos um ponto no intervalo
onde $ f(x) = g(x) $.
Resposta
Os gráficos das funções $ f(x) = 2^{x-2} $ e $ g(x) = \sqrt{x} $ se interceptam em pelo menos um ponto no intervalo
.