Questão 1. (35 pontos) Resolva os seguintes limites:
(5 pontos) lim x 2 e^x-2 ln (x-1) cos (x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver o limite limx 2 e^x-2 ln (x-1) cos (x). Esse exercício envolve o conteúdo de Limites, e para resolvê-lo, vamos precisar entender como cada parte da expressão se comporta quando x se aproxima de 2. Vamos analisar cada função separadamente e depois juntar tudo no final.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a parte e^x-2. A função exponencial e^u é contínua, o que significa que podemos simplesmente substituir u pelo valor que ele se aproxima. Aqui, u = x - 2.
Quando x se aproxima de 2:
x - 2 0
Então:
e^x-2 e^0 = 1

Passo 3

Agora, vamos analisar ln(x-1). A função logarítmica ln(u) também é contínua em seu domínio, que é u > 0. Aqui, u = x - 1.
Quando x se aproxima de 2:
x - 1 1
Então:
ln(x-1) ln(1) = 0

Passo 4

Por último, vamos ver cos(x). A função cosseno é contínua para todos os valores de x, então podemos substituir diretamente.
Quando x se aproxima de 2:
cos(x) cos(2)
Sabemos que cos(2) é apenas um número real específico.

Passo 5

Agora que sabemos os limites de cada parte, vamos multiplicar tudo para encontrar o limite total.
Temos:
e^x-2 1
ln(x-1) 0
cos(x) cos(2)
Multiplicando:
1 times 0 times cos(2) = 0

Resposta

limx 2 e^x-2 ln (x-1) cos (x) = 0

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