Questão 2. (20 pontos) Seja f: Df R, onde Df subseteq R.
(i) (10 pontos) O que significa f ser contínua em um ponto a in Df dado? Ou seja, qual a definição de continuidade de uma função em um ponto de seu domínio?
(ii) (10 pontos) O que significa f ser uma função contínua?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem uma função $ f $ que vai de um conjunto $ D_f $ de números reais para os números reais $ \mathbb{R} $. A questão tem duas partes:
  1. Entender o que significa a função $ f $ ser contínua em um ponto específico $ a $ dentro do domínio $ D_f $.
  2. Entender o que significa a função $ f $ ser contínua em todo o seu domínio.
Para resolver isso, vamos precisar falar sobre a definição de continuidade em um ponto e como isso se estende para a função inteira.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre o que significa que $ f $ é contínua em um ponto $ a $. Imagine que você está desenhando o gráfico da função e não precisa levantar o lápis no ponto $ a $. Isso significa que a função não tem “saltos” ou “buracos” nesse ponto.
Matematicamente, dizer que $ f $ é contínua em $ a $ significa que três condições devem ser verdadeiras:
  1. $ f(a) $ está definido. Ou seja, o ponto $ a $ está no domínio da função.
  2. O limite de $ f(x) $ quando $ x $ se aproxima de $ a $ existe.
  3. O limite de $ f(x) $ quando $ x $ se aproxima de $ a $ é igual a $ f(a) $.
Em fórmula, isso fica:
f
Se essas três coisas acontecerem, então $ f $ é contínua em $ a $.

Passo 3

Agora, vamos para o que significa que $ f $ é uma função contínua em todo o seu domínio. Isso significa que a função é contínua em cada ponto $ a $ que está no domínio $ D_f $.
Ou seja, para toda $ a \in D_f $, a seguinte condição deve ser satisfeita:
f
Não pode ter nenhum ponto no domínio onde a função “da um pulo” ou tem um “buraco”. É como se você pudesse desenhar todo o gráfico da função sem nunca levantar o lápis do papel.

Resposta

(i) Uma função $ f $ é contínua em um ponto $ a $ de seu domínio $ D_f $ se, quando $ x $ se aproxima de $ a $, o valor de $ f(x) $ se aproxima de $ f(a) $. Matematicamente, isso significa que:
f
(ii) A função $ f $ é contínua se ela é contínua em todos os pontos do seu domínio $ D_f $. Ou seja, para cada $ a \in D_f $, vale que:
a

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