1^a Questão:(20 pontos) Resolva a equação diferencial usando o método doa coeficienten a determinar.
y^prime prime-3 y^prime-10 y=(10 t-23) e^3 t

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear com coeficientes constantes
y'' - 3y' - 10y = (10t - 23)e^3t
usando o método dos coeficientes a determinar. Para isso, vamos primeiro achar a solução da homogênea e depois uma solução particular.

Passo 2

A equação homogênea associada é
y'' - 3y' - 10y = 0
O polinômio característico é
r^2 - 3r - 10 = 0,
cuja resolução dá
r = 3 pm raiz9 + 402 = 3 pm 72Longrightarrow r1 = 5,;r2 = -2
Logo, a solução homogênea é
yh(t) = C1 e^5t + C2 e^-2t

Passo 3

Como o termo não‐homogêneo é (10t - 23)e^3t, e r=3 não é raiz do característico, usamos a ansatz
yp(t) = (A,t + B),e^3t,
com A e B constantes a determinar.

Passo 4

Calculamos as derivadas de yp:
yp' = l(A + 3(At + B)r)e^3t = l(3A,t + (A + 3B)r)e^3t,
yp'' = l(3A + 3(3A,t + (A + 3B))r)e^3t = l(9A,t + (6A + 9B)r)e^3t
Substituindo em y'' - 3y' -10y:
yp'' - 3yp' -10yp = l[9A,t + (6A+9B)r]e^3t - l[9A,t + (3A+9B)r]e^3t - l[10A,t + 10Br]e^3t
= l[-10A,t + (3A -10B)r]e^3t
Para coincidir com (10t -23)e^3t, igualamos coeficientes:
-10A = 10Longrightarrow A = -1,
3A - 10B = -23Longrightarrow -3 -10B = -23Longrightarrow B = 2
Assim
yp(t) = (-t + 2)e^3t

Passo 5

A solução geral da equação é a soma da homogênea com a particular:
y(t) = yh(t) + yp(t) = C1 e^5t + C2 e^-2t + (-t + 2)e^3t

Resposta

y(t) = C1 e^5t + C2 e^-2t + (-t + 2),e^3t

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