Encontre a solução geral de cada equação a seguir:
2 y^prime prime+y^prime-y=10 sen t

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
2y'' + y' - y = 10sin t
O que vamos fazer é:
  1. Encontrar a solução da parte homogênea associada.
  2. Achar uma solução particular para a parte não homogênea usando o método dos coeficientes indeterminados.
  3. Somar essas duas soluções para obter a geral.

Passo 2

Para a parte homogênea consideramos
2y'' + y' - y = 0
Formamos a equação característica
2r^2 + r -1 = 0,
cuja discriminante é De<a = 1 - 4cdot2cdot(-1) = 9. Logo
r = -1 pm 34 Longrightarrow r1 = tfrac12, r2 = -1
Daí a solução homogênea é
yh(t) = C1 e^t/2 + C2 e^-t

Passo 3

Como o termo à direita é 10sin t, tentamos uma particular da forma
yp(t) = Acos t + Bsin t
Então
yp'(t) = -Asin t + Bcos t, yp''(t) = -Acos t - Bsin t

Passo 4

Substituindo em
Como isso deve ser igual a , igualamos coeficientes:
Da primeira equação vem .
Assim

Passo 5

A solução geral é a soma
y(t) = yh(t) + yp(t) = C1 e^t/2 + C2 e^-t ;-;cos t ;-;3sin t

Resposta

y(t) = C1 e^t/2 + C2 e^-t - cos t - 3 sin t

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