(1^{a}) Questão: [20 pontos] Resolva os itens (a) e (b) abaixo para a EDO
y^{\prime \prime}+y^{\prime}-12 y=0
(a) [10 pontos] Encontre a solução geral da EDO.
(b) [10 pontos] Resolva a EDO com as condições iniciais y(0)=1, y^{\prime}(0)=11.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial ordinária linear homogênea com coeficientes constantes
y^{\prime\prime}+y^{\prime}-12y=0.
Pede-se:
(a) encontrar a solução geral da EDO;
(b) encontrar a solução que satisfaz as condições iniciais \,y(0)=1 e \,y^{\prime}(0)=11.
Informações relevantes do enunciado:
  • É uma EDO de segunda ordem homogênea.
  • Coeficientes são constantes (1, 1 e -12).
  • Condições iniciais para o item (b): y(0)=1 e y'(0)=11.

Passo 2

Método que vamos usar (explicação didática e passo a passo):
Para equações lineares homogêneas com coeficientes constantes da forma
y^{\prime\prime}+a\,y^{\prime}+b\,y=0,
procura-se soluções da forma exponencial y=e^{rx}. Substituindo essa forma na EDO obtém-se a equação algébrica chamada equação característica
r^{2}+a r + b = 0.
As raízes r dessa equação caracterizam o comportamento das soluções:
  • se as raízes são reais e distintas r_1,r_2, a solução geral é y=C_1 e^{r_1 x}+C_2 e^{r_2 x};
  • se as raízes são reais e iguais r, a solução geral é y=(C_1 + C_2 x)e^{r x};
  • se as raízes são complexas conjugadas \alpha\pm i\beta, a solução geral é y=e^{\alpha x}\big(C_1\cos(\beta x)+C_2\sin(\beta x)\big).
Aqui cada constante C_1,C_2 é determinada por condições iniciais quando forem dadas.

Passo 3

Aplique o método à nossa EDO. Tomando y=e^{rx} e substituindo em \,y^{\prime\prime}+y^{\prime}-12y=0 obtemos a equação característica
r^{2}+r-12=0.
Esta é uma quadrática. Vamos resolvê-la com a fórmula quadrática: para ar^{2}+br+c=0 vale
r=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.
Aqui a=1, b=1, c=-12. O discriminante é
\Delta=b^{2}-4ac=1^{2}-4\cdot1\cdot(-12)=1+48=49.
Portanto
r=\frac{-1\pm\sqrt{49}}{2}=\frac{-1\pm7}{2}.
Isso dá as duas raízes reais e distintas:
r_1=\frac{-1+7}{2}=3,\qquad r_2=\frac{-1-7}{2}=-4.

Passo 4

Como as raízes são reais e distintas ( r_1=3 e r_2=-4), a forma geral da solução é uma combinação linear das exponenciais correspondentes. Assim a solução geral (antes de aplicar condições) é
y(x)=C_1 e^{3x}+C_2 e^{-4x},
onde C_1 e C_2 são constantes arbitrárias (ainda a determinar se houver condições iniciais). Explicando: cada e^{r_i x} é solução da EDO e são linearmente independentes, então sua combinação cobre todas as soluções da equação homogênea de segunda ordem.

Passo 5

Agora resolvemos o item (b): aplicar as condições iniciais para determinar C_1 e C_2.
Primeiro escrevemos y(x) (já obtida) e calculamos y'(x). Temos
y(x)=C_1 e^{3x}+C_2 e^{-4x}.
Derivando:
y'(x)=3C_1 e^{3x}-4C_2 e^{-4x}.
Avalie nas condições x=0:
  • De y(0)=1 segue
y(0)=C_1 e^{0}+C_2 e^{0}=C_1+C_2=1.
  • De y'(0)=11 segue
y'(0)=3C_1-4C_2=11.
Isso gera o sistema linear para C_1,C_2:
\begin{cases} C_1+C_2=1,\\[4pt] 3C_1-4C_2=11. \end{cases}]

Passo 6

Resolvendo o sistema para C_1 e C_2 (passo a passo):
Da primeira equação C_2=1-C_1. Substituindo na segunda:
3C_1-4(1-C_1)=11.
Expanda e simplifique:
3C_1-4+4C_1=11\quad\Rightarrow\quad 7C_1-4=11.
Logo
7C_1=15\quad\Rightarrow\quad C_1=\frac{15}{7}.
E então
C_2=1-C_1=1-\frac{15}{7}=\frac{7-15}{7}=-\frac{8}{7}.

Passo 7

Com as constantes encontradas, a solução que satisfaz y(0)=1 e y'(0)=11 é
y(x)=\frac{15}{7}e^{3x}-\frac{8}{7}e^{-4x}.
Este é o resultado particular pedido no item (b).

Resposta

(a) y(x)=C_{1}e^{3x}+C_{2}e^{-4x}
(b) y(x)=\dfrac{15}{7}e^{3x}-\dfrac{8}{7}e^{-4x}

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