(1^{a}) Questão: [20 pontos] Resolva os itens (a) e (b) abaixo para a EDO
(a) [10 pontos] Encontre a solução geral da EDO.
(b) [10 pontos] Resolva a EDO com as condições iniciais
.
(b) [10 pontos] Resolva a EDO com as condições iniciais
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial ordinária linear homogênea com coeficientes constantes
Pede-se:
(a) encontrar a solução geral da EDO;
(b) encontrar a solução que satisfaz as condições iniciais e
.
(a) encontrar a solução geral da EDO;
(b) encontrar a solução que satisfaz as condições iniciais
Informações relevantes do enunciado:
- É uma EDO de segunda ordem homogênea.
- Coeficientes são constantes (1, 1 e
). - Condições iniciais para o item (b):
e .
Passo 2
Método que vamos usar (explicação didática e passo a passo):
Para equações lineares homogêneas com coeficientes constantes da forma
Para equações lineares homogêneas com coeficientes constantes da forma
procura-se soluções da forma exponencial
. Substituindo essa forma na EDO obtém-se a equação algébrica chamada equação característica
As raízes
dessa equação caracterizam o comportamento das soluções:
- se as raízes são reais e distintas
, a solução geral é ; - se as raízes são reais e iguais
, a solução geral é ; - se as raízes são complexas conjugadas
, a solução geral é .
Aqui cada constante
é determinada por condições iniciais quando forem dadas.
Passo 3
Aplique o método à nossa EDO. Tomando
e substituindo em
obtemos a equação característica
Esta é uma quadrática. Vamos resolvê-la com a fórmula quadrática: para
vale
Aqui
,
,
. O discriminante é
Portanto
Isso dá as duas raízes reais e distintas:
Passo 4
Como as raízes são reais e distintas (
e
), a forma geral da solução é uma combinação linear das exponenciais correspondentes. Assim a solução geral (antes de aplicar condições) é
onde
e
são constantes arbitrárias (ainda a determinar se houver condições iniciais). Explicando: cada
é solução da EDO e são linearmente independentes, então sua combinação cobre todas as soluções da equação homogênea de segunda ordem.
Passo 5
Agora resolvemos o item (b): aplicar as condições iniciais para determinar
e
.
Primeiro escrevemos
(já obtida) e calculamos
. Temos
Derivando:
Avalie nas condições
:
- De
segue
- De
segue
Isso gera o sistema linear para
:
Passo 6
Resolvendo o sistema para
e
(passo a passo):
Da primeira equação . Substituindo na segunda:
Da primeira equação
Expanda e simplifique:
Logo
E então
Passo 7
Com as constantes encontradas, a solução que satisfaz
e
é
Este é o resultado particular pedido no item (b).
Resposta
(a)
(b)