Questão 2

Dado \mathrm{P}(\mathrm{x})=\mathrm{x}^{3}-4 \mathrm{x}^{2}-\mathrm{x}+4 :
a) Liste possíveis raízes racionais.
b) Teste por Briot-Ruffini.
c) Descreva o padrão entre coeficientes e raízes.
Objetivo:
  • Desenvolver pensamento investigativo.

Passo 1

O enunciado dá o polinômio P(x)=x^{3}-4x^{2}-x+4 e pede três coisas:
  • (a) listar as possíveis raízes racionais;
  • (b) testar raízes usando Briot–Ruffini (divisão sintética);
  • (c) descrever o padrão (relação) entre os coeficientes e as raízes.
Informações explícitas do enunciado que vamos usar:
  • Coeficientes do polinômio (da maior para a menor potência): 1,\\\ -4,\\\ -1,\\\ 4.
  • Grau do polinômio: 3.
    Nada mais é fornecido; partimos desses coeficientes para investigar raízes racionais e aplicar Briot–Ruffini.

Passo 2

Como listar possíveis raízes racionais (regra prática):
  • Para um polinômio com coeficientes inteiros, qualquer raiz racional na forma \dfrac{p}{q} satisfaz que p divide o termo constante e q divide o coeficiente líder.
  • No nosso caso o termo constante é 4 e o coeficiente líder é 1. Os divisores de 4 são \pm1,\pm2,\pm4. Como o coeficiente líder é 1, os possíveis q são \pm1, então as possíveis raízes racionais são
\pm1,\\ \pm2,\\ \pm4.
Isso reduz bastante a busca: em prova, sempre escreva esses candidatos e teste-os.

Passo 3

Explicando Briot–Ruffini (divisão sintética) de forma prática:
  • Briot–Ruffini é um método rápido para dividir um polinômio por (x-r). Coloca-se r numa coluna e os coeficientes na linha; trazemos o primeiro coeficiente para baixo, multiplicamos por r, somamos à próxima coluna etc. O último valor obtido é o resto.
  • Vamos testar o candidato r=1. Coeficientes: 1,\\\ -4,\\\ -1,\\\ 4.
Fazendo a divisão sintética com r=1:
  • Trago 1 para baixo (coeficiente do quociente): 1.
  • Multiplico 1\cdot1=1 e somo a -4 -4+1=-3.
  • Multiplico 1\cdot(-3)=-3 e somo a -1 -1+(-3)=-4.
  • Multiplico 1\cdot(-4)=-4 e somo a 4 4+(-4)=0 (resto).
Portanto a linha de trabalho fica (visualmente): coeficientes 1,\\\ -4,\\\ -1,\\\ 4 com r=1 gera quociente coeficientes 1,\\\ -3,\\\ -4 e resto 0.
Interpretação: o resto é 0, logo x=1 é raiz e
P(x)=(x-1)\bigl(x^{2}-3x-4\bigr).

Passo 4

Fatorando o quociente x^{2}-3x-4:
  • Procuramos dois números cujo produto seja -4 (termo constante) e cuja soma seja -3 (coeficiente de x). Esses números são -4 e 1.
  • Logo
x^{2}-3x-4=(x-4)(x+1).
Assim o polinômio fatorado completamente é
P(x)=(x-1)(x-4)(x+1).

Passo 5

Demonstrando Briot–Ruffini repetido (opcional, para ver o método funcionando em sequência):
  • Aplicando Briot–Ruffini ao quociente x^{2}-3x-4 com r=4 (coeficientes 1,\\\ -3,\\\ -4):
    • Trago 1; 4\cdot1=4; -3+4=1; 4\cdot1=4; -4+4=0. Resto 0. Quociente x+1.
  • Aplicando com r=-1 ao quociente x+1 (coeficientes 1,\\\ 1):
    • Trago 1; (-1)\cdot1=-1; 1+(-1)=0. Resto 0. Quociente constante 1.
  • Confirmado: raízes 1,\\\ 4,\\\ -1.

Passo 6

Padrão entre coeficientes e raízes (fórmulas e interpretação):
  • Para um polinômio geral de grau 3
ax^{3}+bx^{2}+cx+d
com raízes \,r_{1},r_{2},r_{3}\, (assumindo a\neq0), valem as relações (conhecidas e muito úteis em prova):
r_{1}+r_{2}+r_{3}=-\dfrac{b}{a},
r_{1}r_{2}+r_{1}r_{3}+r_{2}r_{3}=\dfrac{c}{a},
r_{1}r_{2}r_{3}=-\dfrac{d}{a}.
  • No nosso caso a=1,\\ b=-4,\\ c=-1,\\ d=4. Substituindo:
    • Soma: r_{1}+r_{2}+r_{3}=-\dfrac{-4}{1}=4. De fato 1+4+(-1)=4.
    • Soma dos produtos dois a dois: r_{1}r_{2}+r_{1}r_{3}+r_{2}r_{3}=\dfrac{-1}{1}=-1. De fato 1\cdot4 + 1\cdot(-1) + 4\cdot(-1)=4-1-4=-1.
    • Produto: r_{1}r_{2}r_{3}=-\dfrac{4}{1}=-4. De fato 1\cdot4\cdot(-1)=-4.
Interpretação em palavras: os coeficientes do polinômio (com sinais alternados nos lugares corretos) codificam as somas e produtos simétricos das raízes. Em prova, depois de encontrar as raízes é bom checar essas igualdades — é uma verificação rápida e segura.

Passo 7

Dicas práticas para a prova (rápido e útil):
  • Sempre escreva os candidatos racionais (divisores do termo constante sobre divisores do líder).
  • Teste primeiro os candidatos pequenos ( \pm1, depois \pm2, etc.) usando Briot–Ruffini — costuma resolver o problema rapidamente.
  • Após encontrar uma raiz racional, divida e reduza o grau; normalmente o quociente é um polinômio de grau menor que se resolve por fatoração simples ou fórmula quadrática.
  • Verifique com as relações acima (soma e produto) para confirmar que não houve erro de conta. Força aí — já está no caminho certo!

Resposta

(a) \pm1,\pm2,\pm4
(b) Raízes obtidas: 1,\\\ 4,\\\ -1 (fatorização P(x)=(x-1)(x-4)(x+1)).
(c) Relações (Vieta) para P(x)=x^{3}-4x^{2}-x+4:
\;r_{1}+r_{2}+r_{3}=4,
\;r_{1}r_{2}+r_{1}r_{3}+r_{2}r_{3}=-1,
\;r_{1}r_{2}r_{3}=-4.

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