Questão 2
Dado
:
a) Liste possíveis raízes racionais.
b) Teste por Briot-Ruffini.
c) Descreva o padrão entre coeficientes e raízes.
Objetivo:
- Desenvolver pensamento investigativo.
a) Liste possíveis raízes racionais.
b) Teste por Briot-Ruffini.
c) Descreva o padrão entre coeficientes e raízes.
Passo 1
O enunciado dá o polinômio
e pede três coisas:
- (a) listar as possíveis raízes racionais;
- (b) testar raízes usando Briot–Ruffini (divisão sintética);
- (c) descrever o padrão (relação) entre os coeficientes e as raízes.
Informações explícitas do enunciado que vamos usar:
- Coeficientes do polinômio (da maior para a menor potência):
. - Grau do polinômio:
.
Nada mais é fornecido; partimos desses coeficientes para investigar raízes racionais e aplicar Briot–Ruffini.
Passo 2
Como listar possíveis raízes racionais (regra prática):
- Para um polinômio com coeficientes inteiros, qualquer raiz racional na forma
satisfaz que divide o termo constante e divide o coeficiente líder. - No nosso caso o termo constante é
e o coeficiente líder é . Os divisores de são . Como o coeficiente líder é , os possíveis são , então as possíveis raízes racionais são
Isso reduz bastante a busca: em prova, sempre escreva esses candidatos e teste-os.
Passo 3
Explicando Briot–Ruffini (divisão sintética) de forma prática:
- Briot–Ruffini é um método rápido para dividir um polinômio por
. Coloca-se numa coluna e os coeficientes na linha; trazemos o primeiro coeficiente para baixo, multiplicamos por , somamos à próxima coluna etc. O último valor obtido é o resto. - Vamos testar o candidato
. Coeficientes: .
Fazendo a divisão sintética com
:
- Trago
para baixo (coeficiente do quociente): . - Multiplico
e somo a → . - Multiplico
e somo a → . - Multiplico
e somo a → (resto).
Portanto a linha de trabalho fica (visualmente): coeficientes
com
gera quociente coeficientes
e resto
.
Interpretação: o resto é , logo
é raiz e
Interpretação: o resto é
Passo 4
Fatorando o quociente
:
- Procuramos dois números cujo produto seja
(termo constante) e cuja soma seja (coeficiente de ). Esses números são e . - Logo
Assim o polinômio fatorado completamente é
Passo 5
Demonstrando Briot–Ruffini repetido (opcional, para ver o método funcionando em sequência):
- Aplicando Briot–Ruffini ao quociente
com (coeficientes ): - Trago
; ; ; ; . Resto . Quociente .
- Trago
- Aplicando com
ao quociente (coeficientes ): - Trago
; ; . Resto . Quociente constante .
- Trago
- Confirmado: raízes
.
Passo 6
Padrão entre coeficientes e raízes (fórmulas e interpretação):
- Para um polinômio geral de grau
com raízes
(assumindo
), valem as relações (conhecidas e muito úteis em prova):
- No nosso caso
. Substituindo: - Soma:
. De fato . - Soma dos produtos dois a dois:
. De fato . - Produto:
. De fato .
- Soma:
Interpretação em palavras: os coeficientes do polinômio (com sinais alternados nos lugares corretos) codificam as somas e produtos simétricos das raízes. Em prova, depois de encontrar as raízes é bom checar essas igualdades — é uma verificação rápida e segura.
Passo 7
Dicas práticas para a prova (rápido e útil):
- Sempre escreva os candidatos racionais (divisores do termo constante sobre divisores do líder).
- Teste primeiro os candidatos pequenos (
, depois , etc.) usando Briot–Ruffini — costuma resolver o problema rapidamente. - Após encontrar uma raiz racional, divida e reduza o grau; normalmente o quociente é um polinômio de grau menor que se resolve por fatoração simples ou fórmula quadrática.
- Verifique com as relações acima (soma e produto) para confirmar que não houve erro de conta. Força aí — já está no caminho certo!
Resposta
(a)
(b) Raízes obtidas: (fatorização
).
(c) Relações (Vieta) para :
(b) Raízes obtidas:
(c) Relações (Vieta) para